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Book/Chapter2/chapter2.tex

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 \parinterval 语言分析部分将以汉语为例介绍词法和句法分析的基本概念。它们都是自然语言处理中的经典问题，而且在机器翻译中也会经常被使用。同样，本章会介绍这两个任务的定义和求解问题的思路。
 
-\parinterval 语言建模是机器翻译中最常用的一种技术，它主要用于句子的生成和流畅度评价。本章会以传统统计语言模型为例，对语言建模的相关概念进行介绍。但是，这里并不深入探讨语言模型技术，在后面的章节中还会单独对神经网络语言模型等前沿技术进行讨论。\\ \\ \\
+\parinterval 语言建模是机器翻译中最常用的一种技术，它主要用于句子的生成和流畅度评价。本章会以传统统计语言模型为例，对语言建模的相关概念进行介绍。但是，这里并不深入探讨语言模型技术，在后面的章节中还会单独对神经网络语言模型等前沿技术进行讨论。
 
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 \section{问题概述 }
 
-\parinterval 很多时候机器翻译系统被看作是孤立的``黑盒''系统（图 \ref {fig:2-1} (a)）。将一段文本作为输入送入机器翻译系统之后，系统输出翻译好的译文。但是真实的机器翻译系统非常复杂，因为系统看到的输入和输出的实际上只是一些符号串，这些符号并没有任何意义，因此需要进一步对这些符号串进行处理才能更好的使用它们，比如，需要定义翻译中最基本的单元是什么？符号串是否还有结构信息？如何用数学工具刻画这些基本单元和结构？
+\parinterval 很多时候机器翻译系统被看作是孤立的``黑盒''系统（图 \ref {fig:2-1} (a)）。将一段文本作为输入送入机器翻译系统之后，系统输出翻译好的译文。但是真实的机器翻译系统非常复杂，因为系统看到的输入和输出实际上只是一些符号串，这些符号并没有任何意义，因此需要进一步对这些符号串进行处理才能更好的使用它们。比如，需要定义翻译中最基本的单元是什么？符号串是否具有结构信息？如何用数学工具刻画这些基本单元和结构？
 
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 \begin{figure}[htp]
@@ -51,21 +51,21 @@
 \end{figure}
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-\parinterval 图\ref{fig:2-1} (b)展示了一个机器翻译系统的输入和输出形式。可以看到，输入的中文字串``猫喜欢吃鱼''被加工成一个新的结构（图\ref {fig:2-2}）。直觉上，这个结构有些奇怪，因为上面多了很多新的符号，而且还有一些线将不同符号进行连接。实际上这就是语言分析中对句子常用的结构表示 —— 短语结构树。从原始的词串转化为图\ref {fig:2-2} 的样子，有两个步骤：
+\parinterval 图\ref{fig:2-1} (b)展示了一个机器翻译系统的输入和输出形式。可以看到，输入的中文词串``猫喜欢吃鱼''被加工成一个新的结构（图\ref {fig:2-2}）。直觉上，这个结构有些奇怪，因为上面多了很多新的符号，而且还有一些线将不同符号进行连接。实际上这就是语言分析中对句子常用的结构表示 —— 短语结构树。从原始的词串转化为图\ref {fig:2-2} 的样子，有两个步骤：
 
 \begin{itemize}
 \vspace{0.5em}
 \item {\small\bfnew{分词}}\index{分词}（Segmentation）\index{Segmentation}：这个过程会把词串进行切分，切割成最小的单元。因为只有知道了什么是待处理字符串的最小单元，机器翻译系统才能对其进行表示、分析和生成。
 \vspace{0.5em}
-\item {\small\bfnew{句法分析}}\index{句法分析}（Parsing）\index{Parsing}：这个过程会对分词的结果进行进一步分析，得到句子的句法结构，这种结构是对句子的进一步抽象。比如，NP+VP就可以表示由名词短语(NP)和动词短语(VP)构成的主谓结构。利用这些信息，机器翻译可以更加准确的对语言的结构进行分析和生成。
+\item {\small\bfnew{句法分析}}\index{句法分析}（Parsing）\index{Parsing}：这个过程会对分词的结果进行进一步分析，得到句子的句法结构。这种结构是对句子的进一步抽象，比如，NP+VP就可以表示由名词短语(NP)和动词短语(VP)构成的主谓结构。利用这些信息，机器翻译可以更加准确地对语言的结构进行分析和生成。
 \vspace{0.5em}
 \end{itemize}
 
-\parinterval 类似的，机器翻译输出的结果也可以包含同样的信息。甚至系统输出英文译文之后，还有一个额外的步骤来把部分英文单词的大小写恢复出来，比如，上例中句首单词Cats的首字母要大写。
+\parinterval 类似地，机器翻译输出的结果也可以包含同样的信息。甚至系统输出英文译文之后，还有一个额外的步骤来把部分英文单词的大小写恢复出来，比如，上例中句首单词Cats的首字母要大写。
 
 \parinterval 一般来说，在送入机器翻译系统前需要对文字序列进行处理和加工，这个过程被称为{\small\sffamily\bfseries{预处理}}\index{预处理}（Pre-processing）\index{Pre-processing}。同理，在机器翻译模型输出译文后进行的处理被称作{\small\sffamily\bfseries{后处理}}\index{后处理}（Post-processing）\index{Post-processing}。这两个过程对机器翻译性能影响很大，比如，在神经机器翻译里，不同的分词策略可能会造成翻译性能的天差地别。
 
-\parinterval 值得注意的是，有些观点认为，不论是分词还是句法分析，对于机器翻译来说并不要求符合人的认知和语言学约束。换句话说，机器翻译所使用的``单词''和``结构''本身并不是为了符合人类的解释，它们更直接目的是为了进行翻译。从系统开发的角度，有时候即使进行一些与人类的语言习惯有差别的处理，仍然会带来性能的提升，比如在神经机器翻译中，在传统分词的基础上进一步使用双字节编码（Byte Pair Encoding，BPE）子词切分会使得机器翻译性能大幅提高。当然，自然语言处理中语言学信息的使用一直是学界关注的焦点。甚至关于语言学结构对机器翻译是否有作用这个问题也有争论。但是不能否认的是，无论是语言学的知识，还是计算机自己学习到的知识，对机器翻译都是有价值的。在后续章节会看到，这两种类型的知识对机器翻译帮助很大 \footnote[1]{笔者并不认同语言学结构对机器翻译的帮助有限，相反机器翻译需要更多的人类先验知识的指导。当然，这个问题不是这里讨论的重点。} 。
+\parinterval 值得注意的是，有些观点认为，不论是分词还是句法分析，对于机器翻译来说并不要求符合人的认知和语言学约束。换句话说，机器翻译所使用的``单词''和``结构''本身并不是为了符合人类的解释，它们更直接目的是为了进行翻译。从系统开发的角度，有时候即使是一些与人类的语言习惯有差别的处理，仍然会带来性能的提升，比如在神经机器翻译中，在传统分词的基础上进一步使用双字节编码（Byte Pair Encoding，BPE）子词切分会使得机器翻译性能大幅提高。当然，自然语言处理中语言学信息的使用一直是学界关注的焦点。甚至关于语言学结构对机器翻译是否有作用这个问题也有争论。但是不能否认的是，无论是语言学的知识，还是计算机自己学习到的知识，对机器翻译都是有价值的。在后续章节会看到，这两种类型的知识对机器翻译帮助很大 \footnote[1]{笔者并不认同语言学结构对机器翻译的帮助有限，相反机器翻译需要更多的人类先验知识的指导。当然，这个问题不是这里讨论的重点。} 。
 
 \parinterval 剩下的问题是如何进行句子的切分和结构的分析。思路有很多，一种常用的方法是对问题进行概率化，用统计模型来描述问题并求解之。比如，一个句子切分的好坏，并不是非零即一的判断，而是要估计出这种切分的可能性大小，最终选择可能性最大的结果进行输出。这也是一种典型的用统计建模的方式来描述自然语言处理问题的方法。
 
@@ -87,7 +87,7 @@
 \subsection{随机变量和概率}
 \parinterval 在自然界中，很多{\small\bfnew{事件}}\index{事件}（Event）\index{Event}是否会发生是不确定的。例如，明天会下雨、掷一枚硬币是正面朝上、扔一个骰子的点数是5$\cdots\cdots$这类事件可能会发生也可能不会发生。通过大量的重复试验，能发现其具有某种规律性的事件叫做{\small\sffamily\bfseries{随机事件}}\index{随机事件}。
 
-\parinterval {\small\sffamily\bfseries{随机变量}}\index{随机变量}（Random Variable）\index{Random Variable}是对随机事件发生可能状态的描述，是随机事件的数量表征。设$\Omega = \{ \omega \}$为一个随机试验的样本空间，$X=X(\omega)$就是定义在样本空间$\omega$上的单值实数函数，即$X=X(\omega)$为随机变量，记为$X$。随机变量是一种能随机选取数值的变量，常用大写的英文字母或希腊字母表示，其取值通常用小写字母来表示。例如，用$A$ 表示一个随机变量，用$a$表示变量$A$的一个取值。根据随机变量可以选取的值，可以将其划分为离散变量和连续变量。
+\parinterval {\small\sffamily\bfseries{随机变量}}\index{随机变量}（Random Variable）\index{Random Variable}是对随机事件发生可能状态的描述，是随机事件的数量表征。设$\Omega = \{ \omega \}$为一个随机试验的样本空间，$X=X(\omega)$就是定义在样本空间$\Omega$上的单值实数函数，即$X=X(\omega)$为随机变量，记为$X$。随机变量是一种能随机选取数值的变量，常用大写的英文字母或希腊字母表示，其取值通常用小写字母来表示。例如，用$A$ 表示一个随机变量，用$a$表示变量$A$的一个取值。根据随机变量可以选取的值的某些性质，可以将其划分为离散变量和连续变量。
 
 \parinterval 离散变量是指在其取值区间内可以被一一列举，总数有限并且可计算的数值变量。例如，用随机变量$X$代表某次投骰子出现的点数，点数只可能取1$\sim$6这6个整数，$X$就是一个离散变量。
 
@@ -97,6 +97,8 @@
 
 \parinterval 在实际问题中，往往需要得到随机变量的概率值。但是，真实的概率值可能是无法准确知道的，这时就需要对概率进行{\small\sffamily\bfseries{估计}}\index{估计}，得到的结果是概率的{\small\sffamily\bfseries{估计值}}\index{估计值}（Estimate）\index{Estimate}。在概率论中，一个很简单的方法是利用相对频度作为概率的估计值。如果$\{x_1,x_2,\dots,x_n \}$是一个试验的样本空间，在相同情况下重复试验$N$次，观察到样本$x_i (1\leq{i}\leq{n})$的次数为$n (x_i )$，那么$x_i$在这$N$次试验中的相对频率是$\frac{n(x_i )}{N}$。当$N$越来越大时，相对概率也就越来越接近真实概率$\textrm{P}(x_i)$，即$\lim_{N \to \infty}\frac{n(x_i )}{N}=\textrm{P}(x_i)$。 实际上，很多概率模型都等同于相对频度估计，比如，对于一个服从多项式分布的变量的极大似然估计就可以用相对频度估计实现。
 
+\parinterval 概率函数是用函数形式给出离散变量每个取值发生的概率，其实就是将变量的概率分布转化为数学表达形式。如果把$A$看做一个离散变量，$a$看做变量$A$的一个取值，那么$\textrm{P}(A)$被称作变量$A$的概率函数，$\textrm{P}(A=a)$被称作$A = a$的概率值，简记为$\textrm{P}(a)$。例如，在相同条件下掷一个骰子50次，用$A$表示投骰子出现的点数这个离散变量，$a_i$表示点数的取值，$\textrm{P}_i$表示$A=a_i$的概率值。下表为$A$的概率分布，给出了$A$的所有取值及其概率。
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 \begin{table}[htp]
 \centering
@@ -110,9 +112,15 @@
 \end{table}
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-\parinterval 概率函数是用函数形式给出离散变量每个取值发生的概率，其实就是将变量的概率分布转化为数学表达形式。如果把$A$看做一个离散变量，$a$看做变量$A$的一个取值，那么$\textrm{P}(A)$被称作变量$A$的概率函数，$\textrm{P}(A=a)$被称作$A = a$的概率值，简记为$\textrm{P}(a)$。例如，在相同条件下掷一个骰子50次，用$A$表示投骰子出现的点数这个离散变量，$a_i$表示点数的取值，$\textrm{P}_i$表示$A=a_i$的概率值。表\ref{tab:2-1}为$A$的概率分布，给出了$A$的所有取值及其概率。
+\parinterval 除此之外，概率函数$\textrm{P}(\cdot)$还具有非负性、归一性等特点，非负性是指，所有的概率函数$\textrm{P}(\cdot)$都必须是大于等于0的数值，概率函数中不可能出现负数，即$\forall{x},\textrm{P}{(x)}\geq{0}$。归一性，又称规范性，简单的说就是所有可能发生的事件的概率总和为1，即$\sum_{x}\textrm{P}{(x)}={1}$。
+
+\parinterval 对于离散变量$A$，$\textrm{P}(A=a)$是个确定的值，可以表示事件$A=a$的可能性大小；而对于连续变量，求在某个定点处的概率是无意义的，只能求其落在某个取值区间内的概率。因此，用{\small\sffamily\bfseries{概率分布函数}}\index{概率分布函数}$F(x)$和{\small\sffamily\bfseries{概率密度函数}}\index{概率密度函数}$f(x)$来统一描述随机变量取值的分布情况（如图\ref{fig:2-3}）。概率分布函数$F(x)$表示取值小于等于某个值的概率，是概率的累加（或积分）形式。假设$A$是一个随机变量，$a$是任意实数，将函数$F(a)=\textrm{P}\{A\leq a\}$，$-\infty<a<\infty $定义为$A$的分布函数。通过分布函数，可以清晰地表示任何随机变量的概率。
 
-\parinterval 除此之外，概率函数$\textrm{P}(\cdot)$还具有非负性、归一性等特点，非负性是指，所有的概率函数$\textrm{P}(\cdot)$都必须是大于等于0的数值，概率函数中不可能出现负数：$\forall{x},\textrm{P}{(x)}\geq{0}$。归一性，又称规范性，简单的说就是所有可能发生的事件的概率总和为1，即$\sum_{x}\textrm{P}{(x)}={1}$。
+\parinterval 概率密度函数反映了变量在某个区间内的概率变化快慢，概率密度函数的值是概率的变化率，该连续变量的概率也就是对概率密度函数求积分得到的结果。设$f(x) \geq 0$是连续变量$X$的概率密度函数，$X$的分布函数就可以用如下公式定义：
+\begin{eqnarray}
+F(x)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
+\label{eq:2-1}
+\end{eqnarray}
 
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 \begin{figure}[htp]
@@ -122,25 +130,15 @@
 \label{fig:2-3}
 \end{figure}
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-\vspace{-1em}
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-\parinterval 对于离散变量$A$，$\textrm{P}(A=a)$是个确定的值，可以表示事件$A=a$的可能性大小；而对于连续变量，求在某个定点处的概率是无意义的，只能求其落在某个取值区间内的概率。因此，用{\small\sffamily\bfseries{概率分布函数}}\index{概率分布函数}$F(x)$和{\small\sffamily\bfseries{概率密度函数}}\index{概率密度函数}$f(x)$来统一描述随机变量取值的分布情况（如图\ref{fig:2-3}）。概率分布函数$F(x)$表示取值小于某个值的概率，是概率的累加（或积分）形式。假设$A$是一个随机变量，$a$是任意实数，将函数$F(a)=\textrm{P}\{A\leq a\}$，$-\infty<a<\infty $定义为$A$的分布函数。通过分布函数，可以清晰地表示任何随机变量的概率。
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-\parinterval 概率密度函数反映了变量在某个区间内的概率变化快慢，概率密度函数的值是概率的变化率，该连续变量的概率也就是对概率密度函数求积分得到的结果。设$f(x) \geq 0$是连续变量$X$的概率密度函数，$X$的分布函数就可以用如下公式定义：
-\begin{eqnarray}
-F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
-\label{eq:2-1}
-\end{eqnarray}
-
 
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 %    NEW SUB-SECTION
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 \subsection{联合概率、条件概率和边缘概率}
-\parinterval {\small\sffamily\bfseries{联合概率}}\index{联合概率}（Joint Probability）\index{Joint Probability}是指多个事件同时发生，每个随机变量满足各自条件的概率，表示为$\textrm{P}(AB)$。{\small\sffamily\bfseries{条件概率}}\index{条件概率}（Conditional Probability）\index{Conditional Probability}是指$A$、$B$为任意的两个事件，在事件$A$已出现的前提下，事件$B$出现的概率，使用$\textrm{P}(B \mid A)$表示。通常来说，$\textrm{P}(B \mid A) \neq \textrm{P}(B)$。
+\parinterval {\small\sffamily\bfseries{联合概率}}\index{联合概率}（Joint Probability）\index{Joint Probability}是指多个事件共同发生，每个随机变量满足各自条件的概率，表示为$\textrm{P}(AB)$或$\textrm{P}(A\cap{B})$。{\small\sffamily\bfseries{条件概率}}\index{条件概率}（Conditional Probability）\index{Conditional Probability}是指$A$、$B$为任意的两个事件，在事件$A$已出现的前提下，事件$B$出现的概率，使用$\textrm{P}(B \mid A)$表示。
 
-\parinterval 贝叶斯法则是条件概率计算时的重要依据，条件概率可以表示为
+\parinterval 贝叶斯法则(见\ref{sec:2.2.3}小节)是条件概率计算时的重要依据，条件概率可以表示为
 \begin{eqnarray}
 \textrm{P}{(B|A)} & = & \frac{\textrm{P}(A\cap{B})}{\textrm{P}(A)}  \nonumber \\
                            & = & \frac{\textrm{P}(A)\textrm{P}(B|A)}{\textrm{P}(A)}  \nonumber \\
@@ -148,7 +146,7 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 \label{eq:2-2}
 \end{eqnarray}
 
-\parinterval {\small\sffamily\bfseries{边缘概率}}\index{边缘概率}（marginal probability）\index{marginal probability}是和联合概率对应的，它指的是$\textrm{P}(X=a)$或$\textrm{P}(Y=b)$，即仅与单个随机变量有关的概率称为边缘概率。对于离散随机变量$X$和$Y$，如果知道$\textrm{P}(X,Y)$，则边缘概率$\textrm{P}(X)$可以通过求和的方式得到。对于$\forall x \in X $，有
+\parinterval {\small\sffamily\bfseries{边缘概率}}\index{边缘概率}（marginal probability）\index{marginal probability}是和联合概率对应的，它指的是$\textrm{P}(X=a)$或$\textrm{P}(Y=b)$，即仅与单个随机变量有关的概率。对于离散随机变量$X$和$Y$，如果知道$\textrm{P}(X,Y)$，则边缘概率$\textrm{P}(X)$可以通过求和的方式得到。对于$\forall x \in X $，有
 \begin{eqnarray}
 \textrm{P}(X=x)=\sum_{y}  \textrm{P}(X=x,Y=y)
 \label{eq:2-3}
@@ -156,7 +154,7 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 
 \parinterval 对于连续变量，边缘概率$\textrm{P}(X)$需要通过积分得到，如下式所示
 \begin{eqnarray}
-\textrm{P}(X)=\int \textrm{P}(x,y)dy
+\textrm{P}(X=x)=\int \textrm{P}(x,y)dy
 \label{eq:2-4}
 \end{eqnarray}
 
@@ -180,7 +178,7 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 \label{fig:2-4}
 \end{figure}
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-\vspace{-1.3em}
+
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 %    NEW SUB-SECTION
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@@ -201,15 +199,7 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 \end{eqnarray}
 
 \parinterval 下面的例子有助于更好的理解链式法则，如图\ref{fig:2-5}所示，$A$、$B$、$C$、$D$、\\ $E$分别代表五个事件，其中，$A$只和$B$有关，$C$只和$B$、$D$有关，$E$只和$C$有关，$B$和$D$不依赖其他任何事件。则$\textrm{P}(A,B,C,D,E)$的表达式如下式：
-\begin{eqnarray}
-&   & \textrm{P}(A,B,C,D,E) \nonumber \\
-&=&\textrm{P}(E \mid A,B,C,D) \cdot \textrm{P}(A,B,C,D) \nonumber \\
-&=&\textrm{P}(E \mid A,B,C,D) \cdot \textrm{P}(D \mid A,B,C) \cdot \textrm{P}(A,B,C) \nonumber \\
-&=&\textrm{P}(E \mid A,B,C,D) \cdot \textrm{P}(D \mid A,B,C) \cdot \textrm{P}(C \mid A,B) \cdot \textrm{P}(A,B) \nonumber \\
-&=&\textrm{P}(E \mid A,B,C,D) \cdot \textrm{P}(D \mid A,B,C) \cdot \textrm{P}(C \mid A,B) \cdot \textrm{P}(B \mid A) \cdot \textrm{P}(A)
-\label{eq:2-7}
-\end{eqnarray}
-\vspace{-2em}
+
 %----------------------------------------------
 \begin{figure}[htp]
 \centering
@@ -219,7 +209,15 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 \label{fig:2-5}
 \end{figure}
 %-------------------------------------------
-\vspace{2.5em}
+
+\begin{eqnarray}
+&   & \textrm{P}(A,B,C,D,E) \nonumber \\
+&=&\textrm{P}(E \mid A,B,C,D) \cdot \textrm{P}(A,B,C,D) \nonumber \\
+&=&\textrm{P}(E \mid A,B,C,D) \cdot \textrm{P}(D \mid A,B,C) \cdot \textrm{P}(A,B,C) \nonumber \\
+&=&\textrm{P}(E \mid A,B,C,D) \cdot \textrm{P}(D \mid A,B,C) \cdot \textrm{P}(C \mid A,B) \cdot \textrm{P}(A,B) \nonumber \\
+&=&\textrm{P}(E \mid A,B,C,D) \cdot \textrm{P}(D \mid A,B,C) \cdot \textrm{P}(C \mid A,B) \cdot \textrm{P}(B \mid A) \cdot \textrm{P}(A)
+\label{eq:2-7}
+\end{eqnarray}
 
 \parinterval 根据图\ref {fig:2-5} 易知$E$只和$C$有关，所以$\textrm{P}(E \mid A,B,C,D)=\textrm{P}(E \mid C)$；$D$不依赖于其他事件，所以$\textrm{P}(D \mid A,B,C)=\textrm{P}(D)$；$C$只和$B$、$D$有关，所以$\textrm{P}(C \mid A,B)=\textrm{P}(C \mid B)$；$B$不依赖于其他事件，所以$\textrm{P}(B \mid  A)=\textrm{P}(B)$。最终化简可得：
 \begin{eqnarray}
@@ -231,9 +229,9 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 %    NEW SUB-SECTION
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-\subsection{贝叶斯法则}
+\subsection{贝叶斯法则}\label{sec:2.2.3}
 
-\parinterval 首先介绍一下全概率公式：{\small\bfnew{全概率公式}}\index{全概率公式}（Law of Total Probability）\index{Law of Total Probability}是概率论中重要的公式，它可以将一个复杂事件发生的概率分解成不同情况的小事件发生概率的和。这里先介绍一个概念——划分。若集合$S$的一个划分事件为$\{B_1,...,B_n\}$是指它们满足$\bigcup_{i=1}^n B_i=S \textrm{且}B_iB_j=\varnothing , i,j=1,...,n,i\neq j$。设$\{B_1,...,B_n\}$是$S$的一个划分，则事件$A$的全概率公式可以被描述为：
+\parinterval 首先介绍一下全概率公式：{\small\bfnew{全概率公式}}\index{全概率公式}（Law of Total Probability）\index{Law of Total Probability}是概率论中重要的公式，它可以将一个复杂事件发生的概率分解成不同情况的小事件发生概率的和。这里先介绍一个概念——划分。集合$S$的一个划分事件为$\{B_1,...,B_n\}$是指它们满足,$\bigcup_{i=1}^n B_i=S \textrm{且}B_iB_j=\varnothing , i,j=1,...,n,i\neq j$。此时事件$A$的全概率公式可以被描述为：
 
 \begin{eqnarray}
 \textrm{P}(A)=\sum_{k=1}^n \textrm{P}(A \mid B_k)\textrm{P}(B_k)
@@ -261,7 +259,6 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 & = &{0.36}
 \label{eq:2-10}
 \end{eqnarray}
-\vspace{-2em}
 
 \parinterval {\small\sffamily\bfseries{贝叶斯法则}}\index{贝叶斯法则}（Bayes' rule）\index{Bayes' rule}是概率论中的一个经典公式，通常用于已知$\textrm{P}(A \mid B)$求$\textrm{P}(B \mid A)$。可以表述为：设$\{B_1,...,B_n\}$是$S$的一个划分，$A$为事件，则对于$i=1,...,n$，有如下公式
 \begin{eqnarray}
@@ -276,9 +273,8 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
                      & = & \frac { \textrm{P}(A \mid B)\textrm{P}(B) }  {\textrm{P}(A \mid B)\textrm{P}(B)+\textrm{P}(A \mid \bar{B}) \textrm{P}(\bar{B})}
 \label{eq:2-12}
 \end{eqnarray}
-\vspace{-1.5em}
 
-\parinterval 贝叶斯公式常用于根据已知的结果来推断使之发生的各因素的可能性。\\ \\
+\parinterval 贝叶斯公式常用于根据已知的结果来推断使之发生的各因素的可能性。
 
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 %    NEW SUB-SECTION
@@ -319,7 +315,6 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 \label{fig:2-6}
 \end{figure}
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-\vspace{0.5em}
 
 \parinterval 自信息处理的是变量单一取值的情况。若量化整个概率分布中的不确定性或信息量，可以用信息熵，记为$\textrm{H}(x)$。其公式如下：
 \begin{eqnarray}
@@ -336,7 +331,7 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 
 \subsubsection{KL距离}
 
-\parinterval 如果同一个随机变量$X$上有两个独立的概率分布P$(x)$和Q$(x)$，那么可以使用KL距离(``Kullback-Leibler''散度)来衡量这两个分布的不同，这种度量就是{\small\bfnew{相对熵}}\index{相对熵}（Relative Entropy）\index{Relative Entropy}。其公式如下：
+\parinterval 如果同一个随机变量$X$上有两个概率分布P$(x)$和Q$(x)$，那么可以使用KL距离(``Kullback-Leibler''散度)来衡量这两个分布的不同，这种度量就是{\small\bfnew{相对熵}}\index{相对熵}（Relative Entropy）\index{Relative Entropy}。其公式如下：
 \begin{eqnarray}
 \textrm{D}_{\textrm{KL}}(\textrm{P}\parallel \textrm{Q}) & = & \sum_{x \in \textrm{X}} [ \textrm{P}(x)\log \frac{\textrm{P}(x) }{ \textrm{Q}(x) } ]  \nonumber \\
                                                                                        & = & \sum_{x \in \textrm{X} }[ \textrm{P}(x)(\log\textrm{P}(x)-\log \textrm{Q}(x))]
@@ -350,6 +345,7 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 \item 非负性，即$\textrm{D}_{\textrm{KL}} (\textrm{P} \parallel \textrm{Q}) \ge 0$，等号成立条件是$\textrm{P}$和$\textrm{Q}$相等。
 \vspace{0.5em}
 \item 不对称性，即$\textrm{D}_{\textrm{KL}} (\textrm{P} \parallel \textrm{Q}) \neq \textrm{D}_{\textrm{KL}} (\textrm{Q}  \parallel \textrm{P})$，所以$\textrm{KL}$距离并不是常用的欧式空间中的距离。为了消除这种不确定性，有时也会使用$\textrm{D}_{\textrm{KL}} (\textrm{P}  \parallel \textrm{Q})+\textrm{D}_{\textrm{KL}} (\textrm{Q}  \parallel \textrm{P})$作为度量两个分布差异性的函数。
+\vspace{0.5em}
 \end{itemize}
 
 %----------------------------------------------------------------------------------------
@@ -407,7 +403,7 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 \end{definition}
 %-------------------------------------------
 
-\parinterval 从语言学的角度来看，普遍认为词是可以单独运用的、包含意义的基本单位。这样可以使用有限的词组合出无限的句子，这也正体现出自然语言的奇妙之处。
+\parinterval 从语言学的角度来看，人们普遍认为词是可以单独运用的、包含意义的基本单位。这样可以使用有限的词组合出无限的句子，这也正体现出自然语言的奇妙之处。
 
 \parinterval 不过，机器翻译并不仅仅局限在语言学定义的单词。比如，神经机器翻译中广泛使用的BPE子词切分方法（见第七章），可以被理解为将词的一部分也进行切开，也就是得到词片段送给机器翻译系统使用。比如，对如下英文字符串，可以得到如下切分结果
 \vspace{0.5em}
@@ -441,7 +437,6 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 
 \parinterval 但是，基于词典的分词方法很``硬''。这是因为自然语言非常灵活，经常出现歧义，用词典定义的合法单词之间有重叠的交叉型歧义就很难解决。图\ref{fig:2-9} 就给出了上面例子中的交叉型歧义，从词典中查看，``实现''和``现在''都是合法的单词，但是在句子中二者有重叠，因此词典无法告诉我们哪个结果是正确的。
 
-\setlength{\belowcaptionskip}{-0.5em}
 %----------------------------------------------
 \begin{figure}[htp]
 \centering
@@ -473,7 +468,7 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 
 \begin{itemize}
 \vspace{0.5em}
-\item {\small\bfnew{训练}}\index{训练}（Training）\index{Training}。利用标注数据，对统计模型的参数进行学习。\\
+\item {\small\bfnew{训练}}\index{训练}（Training）\index{Training}。利用标注数据，对统计模型的参数进行学习。
 \vspace{0.5em}
 \item {\small\bfnew{推断}}\index{推断}（Inference）\index{Inference}。利用学习到的模型和参数，对新的句子进行切分。
 \vspace{0.5em}
@@ -490,6 +485,7 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 %-------------------------------------------
 
 \parinterval 图\ref{fig:2-10} 给出了一个基于统计建模的汉语分词实例。左侧是标注数据，其中每个句子是已经经过人工标注的分词结果（单词用斜杠分开）。之后，建立一个统计模型，记为$\textrm{P}(\cdot)$。模型通过在标注数据上的学习来对问题进行描述，即学习$\textrm{P}(\cdot)$。最后，对于新的未分词的句子，使用模型$\textrm{P}(\cdot)$对每个可能的切分方式进行概率估计，之后选择概率最高的切分结果输出。
+\vspace{-0.5em}
 
 %----------------------------------------------------------------------------------------
 %    NEW SUBSUB-SECTION
@@ -497,7 +493,8 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 
 \subsubsection{掷骰子游戏}
 
-\parinterval 上述过程的核心在于从数据中学习一种对分词现象的统计描述，即学习函数$\textrm{P}(\cdot)$。如何让计算机利用分词好的数据学习到分词的知识呢？可以先看一个有趣的实例（图\ref{fig:2-11}），用生活中比较常见的掷骰子来说，掷一个骰子，玩家猜一个数字，猜中就算赢，按照一般的常识，随便选一个数字，获胜的概率是一样的，即所有选择的获胜概率仅是$1/6$。因此这个游戏玩家很难获胜，除非运气很好。假设进行一次游戏，玩家随便选了一个数字，比如是1，投掷30骰子，得到命中$7/30 > 1/6$，还不错。
+\parinterval 上述过程的核心在于从数据中学习一种对分词现象的统计描述，即学习函数$\textrm{P}(\cdot)$。如何让计算机利用分词好的数据学习到分词的知识呢？可以先看一个有趣的实例（图\ref{fig:2-11}），用生活中比较常见的掷骰子来说，掷一个骰子，玩家猜一个数字，猜中就算赢，按照一般的常识，随便选一个数字，获胜的概率是一样的，即所有选择的获胜概率仅是$1/6$。因此这个游戏玩家很难获胜，除非运气很好。假设进行一次游戏，玩家随便选了一个数字，比如是1，投掷30次骰子，得到命中$7/30 > 1/6$，还不错。
+\vspace{-0.5em}
 
 %----------------------------------------------
 \begin{figure}[htp]
@@ -509,7 +506,7 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 \end{figure}
 %-------------------------------------------
 
-\vspace{0.5em}
+\vspace{-0.5em}
 \parinterval 似乎玩家的胜利只能来源于运气。不过，请注意，这里的假设``随便选一个数字''本身就是一个概率模型，它对骰子的六个面的出现做了均匀分布假设。
 \begin{eqnarray}
 \textrm{P(``1'')}=\textrm{P(``2'')}=...=\textrm{P(``5'')}=\textrm{P(``6'')}=1/6
@@ -517,7 +514,7 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 \end{eqnarray}
 
 \vspace{-0.5em}
-\parinterval 但是这个游戏没有人规定骰子是均匀的（有些被坑了的感觉）。但是如果骰子的六个面不均匀呢？我们可以用一种更加``聪明''的方式定义一种新的模型，即定义骰子的每一个面都以一定的概率出现，而不是相同的概率。描述如公式\ref{eq:2-18}，这里，$\theta_1 \sim \theta_5$可以被看作是模型的参数，因此这个模型的自由度是5。对于这样的模型，参数确定了，模型也就确定了。
+\parinterval 但是这个游戏没有人规定骰子是均匀的（有些被坑了的感觉）。如果骰子的六个面不均匀呢？我们可以用一种更加``聪明''的方式定义一种新的模型，即定义骰子的每一个面都以一定的概率出现，而不是相同的概率。描述如下：
 \begin{eqnarray}
 \textrm{P(``1'')} &=&\theta_1 \nonumber \\
 \textrm{P(``2'')} &=&\theta_2 \nonumber \\
@@ -528,7 +525,7 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 \label{eq:2-18}
 \end{eqnarray}
 
-\parinterval 但是，新的问题来了，在定义骰子每个面的概率后，如何求出具体的值呢？一种常用的方法是，从大量实例中学习模型参数，这个方法也是常说的{\small\bfnew{参数估计}}\index{参数估计}（Parameter Estimation）\index{Parameter Estimation}。可以将这个不均匀的骰子先实验性的掷很多次，这可以被看作是独立同分布的若干次采样，比如$X$ 次，发现``1'' 出现$X_1$ 次，``2'' 出现$X_2$ 次，以此类推，得到了各个面出现的次数。假设掷骰子中每个面出现的概率符合多项式分布，通过简单的概率论知识可以知道每个面出现概率的极大似然估计为：
+\noindent 这里，$\theta_1 \sim \theta_5$可以被看作是模型的参数，因此这个模型的自由度是5。对于这样的模型，参数确定了，模型也就确定了。但是，新的问题来了，在定义骰子每个面的概率后，如何求出具体的值呢？一种常用的方法是，从大量实例中学习模型参数，这个方法也是常说的{\small\bfnew{参数估计}}\index{参数估计}（Parameter Estimation）\index{Parameter Estimation}。可以将这个不均匀的骰子先实验性的掷很多次，这可以被看作是独立同分布的若干次采样，比如$X$ 次，发现``1'' 出现$X_1$ 次，``2'' 出现$X_2$ 次，以此类推，得到了各个面出现的次数。假设掷骰子中每个面出现的概率符合多项式分布，通过简单的概率论知识可以知道每个面出现概率的极大似然估计为：
 \begin{eqnarray}
 \textrm{P(``i'')}=\frac {X_i}{X}
 \label{eq:2-19}
@@ -545,11 +542,8 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 \end{figure}
 %-------------------------------------------
 
-\vspace{0.5em}
 \parinterval 于是，我们看到了一个有倾向性的模型（图 \ref{fig:2-13}）：在这样的预先实验基础上，可以知道如果再次玩掷骰子游戏的话，选则数字``4''获胜的可能性是最大的。
 
-\parinterval 通过上面这个掷骰子的游戏，可以得到一个道理：{\small\sffamily\bfseries{上帝是不公平的}}。因为在``公平''的世界中，没有任何一个模型可以学到有价值的事情。从机器学习的角度来看，所谓的``不公平''实际上这是客观事物中蕴含的一种{\small\sffamily\bfseries{偏置}}\index{偏置}（Bias）\index{Bias}，也就是很多事情天然就有对某些情况有倾向。而图像处理、自然语言处理等问题中绝大多数都存在着偏置。比如，我们翻译一个英文单词的时候，它最可能的翻译结果往往就是那几个词。设计统计模型的目的正是要学习这种偏置，之后利用这种偏置对新的问题做出足够好的决策。
-
 %----------------------------------------------
 \begin{figure}[htp]
 \centering
@@ -558,7 +552,8 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 \label{fig:2-13}
 \end{figure}
 %-------------------------------------------
-\vspace{-0.5em}
+
+\parinterval 通过上面这个掷骰子的游戏，可以得到一个道理：{\small\sffamily\bfseries{上帝是不公平的}}。因为在``公平''的世界中，没有任何一个模型可以学到有价值的事情。从机器学习的角度来看，所谓的``不公平''实际上这是客观事物中蕴含的一种{\small\sffamily\bfseries{偏置}}\index{偏置}（Bias）\index{Bias}，也就是很多事情天然就有对某些情况有倾向。而图像处理、自然语言处理等问题中绝大多数都存在着偏置。比如，我们翻译一个英文单词的时候，它最可能的翻译结果往往就是那几个词。设计统计模型的目的正是要学习这种偏置，之后利用这种偏置对新的问题做出足够好的决策。
 
 %----------------------------------------------------------------------------------------
 %    NEW SUBSUB-SECTION
@@ -627,7 +622,7 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 \label{eq:2-20}
 \end{eqnarray}
 }
-\vspace{0.5em}
+
 
 \parinterval 以``确实现在数据很多''这个实例来说，如果把这句话按照``确实/现在/数据/很/多''这样的方式进行切分，这个句子切分的概率P(``确实/现在/数据/很/多'')可以通过每个词出现概率相乘的方式进行计算。
 \begin{eqnarray}
@@ -640,10 +635,6 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 
 这个假设也是自然语言处理中1-gram语言模型假设，即当前词的生成与任何历史都无关。当然，独立性假设并不能完美描述客观世界的问题，但是它大大化简了问题的复杂度。
 
-\parinterval 最后再整体看一下分词系统的学习和使用过程。如图\ref {fig:2-17}所示，我们利用大量人工标注好的分词数据，通过统计学习方法获得一个统计模型$\textrm{P}(\cdot)$，给定任意分词结果$W=w_1 w_2...w_m$，都能通过$\textrm{P}(W)=\textrm{P}(w_1) \cdot \textrm{P}(w_2 ) \cdot ... \cdot \textrm{P}(w_m)$计算这种切分的概率值。
-
-\parinterval 经过充分训练的统计模型$\textrm{P}(\cdot)$就是得到的分词模型。对于输入的新句子$S$，通过这个模型找到最佳的分词结果$W^*$输出。假设输入句子$S$是``确实现在数据很多''，可以通过列举获得不同切分方式的概率，其中概率最高的切分方式，就是系统的目标输出。
-
 %----------------------------------------------
 \begin{figure}[htp]
 \centering
@@ -653,7 +644,10 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 \end{figure}
 %-------------------------------------------
 
-\vspace{0.5em}
+\parinterval 最后再整体看一下分词系统的学习和使用过程。如图\ref {fig:2-17}所示，我们利用大量人工标注好的分词数据，通过统计学习方法获得一个统计模型$\textrm{P}(\cdot)$，给定任意分词结果$W=w_1 w_2...w_m$，都能通过$\textrm{P}(W)=\textrm{P}(w_1) \cdot \textrm{P}(w_2 ) \cdot ... \cdot \textrm{P}(w_m)$计算这种切分的概率值。
+
+\parinterval 经过充分训练的统计模型$\textrm{P}(\cdot)$就是得到的分词模型。对于输入的新句子$S$，通过这个模型找到最佳的分词结果$W^*$输出。假设输入句子$S$是``确实现在数据很多''，可以通过列举获得不同切分方式的概率，其中概率最高的切分方式，就是系统的目标输出。
+
 \parinterval 这种分词方法也被称作基于1-gram语言模型的分词，或全概率分词，使用标注好的分词数据进行学习，获得分词模型。这种方法最大的优点是整个学习过程（模型训练过程）和推导过程（处理新句子进行切分的过程）都是全自动进行的。这种方法虽然简单，但是其效率很高，因此被广泛应用在工业界系统里。
 
 \parinterval 当然，真正的分词系统还需要解决很多其他问题，比如使用动态规划等方法高效搜索最优解以及如何处理未见过的词等等，由于本节的重点是介绍中文分词的基础方法和统计建模思想，因此无法覆盖所有中文分词的技术内容，有兴趣的读者可以参考\ref{sec2:summary}节的相关文献做进一步深入研究。
@@ -663,10 +657,9 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 %----------------------------------------------------------------------------------------
 
 \sectionnewpage
-\vspace{-0.5em}
 \section{$n$-gram语言模型 }
 
-\parinterval 在基于统计的汉语分词模型中，我们通过``大题小做''的技巧，利用独立性假设把整个句子的单词切分概率转化为每个单个词出现概率的乘积。这里，每个单词也被称作1-gram（或uni-gram），而1-gram概率的乘积实际上也是在度量词序列出现的可能性（记为$\textrm{P}(w_1 w_2...w_m)$）。这种计算整个单词序列概率$\textrm{P}(w_1 w_2...w_m)$的方法被称为统计语言模型。1-gram语言模型是最简单的一种语言模型，它没有考虑任何的上下文。很自然的一个问题是：能否考虑上下文信息构建更强大的语言模型，进而得到更准确的分词结果。下面将进一步介绍更加通用的$n$-gram语言模型，它在机器翻译及其他自然语言处理任务中有更加广泛的应用。\\ \\
+\parinterval 在基于统计的汉语分词模型中，我们通过``大题小做''的技巧，利用独立性假设把整个句子的单词切分概率转化为每个单个词出现概率的乘积。这里，每个单词也被称作1-gram（或uni-gram），而1-gram概率的乘积实际上也是在度量词序列出现的可能性（记为$\textrm{P}(w_1 w_2...w_m)$）。这种计算整个单词序列概率$\textrm{P}(w_1 w_2...w_m)$的方法被称为统计语言模型。1-gram语言模型是最简单的一种语言模型，它没有考虑任何的上下文。很自然的一个问题是：能否考虑上下文信息构建更强大的语言模型，进而得到更准确的分词结果。下面将进一步介绍更加通用的$n$-gram语言模型，它在机器翻译及其他自然语言处理任务中有更加广泛的应用。
 
 %----------------------------------------------------------------------------------------
 %    NEW SUB-SECTION
@@ -684,7 +677,7 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 \end{definition}
 %-------------------------------------------
 
-\parinterval 直接求$\textrm{P}(w_1 w_2...w_m)$并不简单，因为如果把整个词串$w_1 w_2...w_m$作为一个变量，模型的参数量会非常大。$w_1 w_2...w_m$有$|V|^m$种可能性，这里$|V|$表示词汇表大小。显然，当$m$ 增大的时候会使模型复杂度会急剧增加，甚至都无法进行存储和计算。既然把$w_1 w_2...w_m$作为一个变量不好处理，就可以考虑对这个序列的生成过程进行分解。使用链式法则，很容易得到
+\parinterval 直接求$\textrm{P}(w_1 w_2...w_m)$并不简单，因为如果把整个词串$w_1 w_2...w_m$作为一个变量，模型的参数量会非常大。$w_1 w_2...w_m$有$|V|^m$种可能性，这里$|V|$表示词汇表大小。显然，当$m$ 增大时，模型的复杂度会急剧增加，甚至都无法进行存储和计算。既然把$w_1 w_2...w_m$作为一个变量不好处理，就可以考虑对这个序列的生成过程进行分解。使用链式法则，很容易得到
 \begin{eqnarray}
 \textrm{P}(w_1 w_2...w_m)=\textrm{P}(w_1)\textrm{P}(w_2|w_1)\textrm{P}(w_3|w_1 w_2)...\textrm{P}(w_m|w_1 w_2...w_{m-1})
 \label{eq:2-22}
@@ -694,7 +687,7 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 
 \parinterval 换一个角度看，$\textrm{P}(w_m|w_1 w_2...w_{m-1})$体现了一种基于``历史''的单词生成模型，也就是把前面生成的所有单词作为``历史''，并参考这个``历史''生成当前单词。但是这个``历史''的长度和整个序列长度是相关的，也是一种长度变化的历史序列。为了化简问题，一种简单的想法是使用定长历史，比如，每次只考虑前面$n-1$个历史单词来生成当前单词，这就是$n$-gram语言模型。这个模型的数学描述如下：
 \begin{eqnarray}
-\textrm{P}(w_m|w_{m-n+1}...w_{m-1})=\textrm{P}(w_m|w_1 w_2...w_{m-1})
+\textrm{P}(w_m|w_1 w_2...w_{m-1}) \approx \textrm{P}(w_m|w_{m-n+1}...w_{m-1})
 \label{eq:2-23}
 \end{eqnarray}
 
@@ -716,24 +709,25 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 }
 \end{center}
 
-\parinterval 可以看到，1-gram语言模型只是$n$-gram语言模型的一种特殊形式。$n$-gram的优点在于，它所使用的历史信息是有限的，即$n-1$个单词。这种性质也反映了经典的马尔可夫链的思想\cite{liuke-markov-2004}\cite{resnick1992adventures}有时也被称作马尔可夫假设或者马尔可夫属性。因此$n$-gram也可以被看作是变长序列上的一种马尔可夫模型，比如，2-gram语言模型对应着1阶马尔可夫模型，3-gram语言模型对应着2阶马尔可夫模型，以此类推。
+\parinterval 可以看到，1-gram语言模型只是$n$-gram语言模型的一种特殊形式。$n$-gram的优点在于，它所使用的历史信息是有限的，即$n-1$个单词。这种性质也反映了经典的马尔可夫链的思想\cite{liuke-markov-2004}\cite{resnick1992adventures}，有时也被称作马尔可夫假设或者马尔可夫属性。因此$n$-gram也可以被看作是变长序列上的一种马尔可夫模型，比如，2-gram语言模型对应着1阶马尔可夫模型，3-gram语言模型对应着2阶马尔可夫模型，以此类推。
 
 \parinterval 那么，如何计算$\textrm{P}(w_m|w_{m-n+1} ... w_{m-1})$呢？有很多种选择，比如：
 
 \begin{itemize}
 \vspace{0.5em}
-\item {\small\bfnew{极大似然估计}}\index{极大似然估计}：直接利用词序列在训练数据中出现的频度计算出$\textrm{P}(w_m|w_{m-n+1}$\\$... w_{m-1})$
+\item {\small\bfnew{极大似然估计}}\index{极大似然估计}。直接利用词序列在训练数据中出现的频度计算出$\textrm{P}(w_m|w_{m-n+1}$\\$... w_{m-1})$
 \begin{eqnarray}
 \textrm{P}(w_m|w_{m-n+1}...w_{m-1})=\frac{\textrm{count}(w_{m-n+1}...w_m)}{\textrm{count}(w_{m-n+1}...w_{m-1})}
 \label{eq:2-24}
+\vspace{0.5em}
 \end{eqnarray}
 
 其中，$\textrm{count}(\cdot)$是在训练数据中统计频次的函数。
 
-\vspace{0.5em}
-\item {\small\bfnew{人工神经网络方法}}\index{人工神经网络方法}：构建一个人工神经网络估计$\textrm{P}(w_m|w_{m-n+1} ... w_{m-1})$的值，比如，可以构建一个前馈神经网络来对$n$-gram进行建模。
-\vspace{0.5em}
+\vspace{0.3em}
+\item {\small\bfnew{人工神经网络方法}}\index{人工神经网络方法}。构建一个人工神经网络估计$\textrm{P}(w_m|w_{m-n+1} ... w_{m-1})$的值，比如，可以构建一个前馈神经网络来对$n$-gram进行建模。
 \end{itemize}
+\vspace{0.3em}
 
 \parinterval 极大似然估计方法和前面介绍的统计分词中的方法是一致的，它的核心是使用$n$-gram出现的频度进行参数估计，因此也是自然语言处理中一类经典的$n$-gram方法。基于人工神经网络的方法在近些年也非常受关注，它直接利用多层神经网络对问题的输入$(w_{m-n+1}...w_{m-1})$和输出$\textrm{P}(w_m|w_{m-n+1} ... w_{m-1})$进行建模，而模型的参数通过网络中神经元之间连接的权重进行体现。严格意义上了来说，基于人工神经网络的方法并不算基于$n$-gram的方法，或者说它并没有显性记录$n$-gram的生成概率，也不依赖$n$-gram的频度进行参数估计。为了保证内容的连贯性，本章将仍以传统$n$-gram语言模型为基础进行讨论，基于人工神经网络的方法将会在第五章和第六章进行详细介绍。
 
@@ -761,7 +755,7 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 \label{eq:2-26}
 \end{eqnarray}
 
-\parinterval 显然，这个结果是不能接受的。因为即使语料中没有 ``确实''和``现在''两个词连续出现，但是这种搭配也是客观存在的。这时简单的用极大似然估计得到概率却是0，导致整个切分结果的概率为0。 更常见的问题是那些根本没有出现在词表中的词，称为{\small\sffamily\bfseries{未登录词}}\index{未登录词}（Out-of-Vocabulary Word，OOV Word）\index{Out-of-Vocabulary Word，OOV Word}，比如一些生僻词，可能模型训练阶段从来没有看到过，这时模型仍然会给出0 概率。图\ref{fig:2-18}展示了一个真实语料库中词语出现频度的分布，可以看到绝大多数词都是低频词。
+\parinterval 显然，这个结果是不能接受的。因为即使语料中没有 ``确实''和``现在''两个词连续出现，这种搭配也是客观存在的。这时简单的用极大似然估计得到概率却是0，导致整个切分结果的概率为0。 更常见的问题是那些根本没有出现在词表中的词，称为{\small\sffamily\bfseries{未登录词}}\index{未登录词}（Out-of-Vocabulary Word，OOV Word）\index{Out-of-Vocabulary Word，OOV Word}，比如一些生僻词，可能模型训练阶段从来没有看到过，这时模型仍然会给出0 概率。图\ref{fig:2-18}展示了一个真实语料库中词语出现频度的分布，可以看到绝大多数词都是低频词。
 
 %----------------------------------------------
 \begin{figure}[htp]
@@ -785,6 +779,7 @@ F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
 \parinterval {\small\bfnew{加法平滑}}\index{加法平滑}（Additive Smoothing）\index{Additive Smoothing}是一种简单的平滑技术。本小节首先介绍这一方法，希望通过它了解平滑算法的思想。通常情况下，系统研发者会利用采集到的语料库来模拟真实的全部语料库。当然，没有一个语料库能覆盖所有的语言现象。常见的一个问题是，使用的语料无法涵盖所有的词汇。因此，直接依据这样语料所获得的统计信息来获取语言模型就会产生偏差。假设依据某语料$C$ （从未出现`` 确实 现在''二元语法），评估一个已经分好词的句子$S$ =``确实/现在/物价/很/高''的概率。当计算``确实/现在''的概率时，$\textrm{P}(S) = 0$。显然这个结果是不合理的。
 
 \parinterval 加法平滑方法假设每个$n$-gram出现的次数比实际统计次数多$\theta$次，$0 \le \theta\le 1$。这样，计算概率的时候分子部分不会为0。重新计算$\textrm{P}(\textrm{现在}|\textrm{确实})$，可以得到：
+
 \begin{eqnarray}
 \textrm{P}(\textrm{现在}|\textrm{确实}) & =  & \frac{\theta + \textrm{count}(\textrm{确实/现在})}{\sum_{w}^{|V|}(\theta + \textrm{count}(\textrm{确实/}w))} \nonumber \\
                                                              & =  & \frac{\theta + \textrm{count}(\textrm{确实/现在})}{\theta{|V|} + \textrm{count}(\textrm{确实})}
@@ -850,14 +845,13 @@ N & = & \sum_{r=0}^{\infty}{r^{*}n_r} \nonumber \\
 
 \parinterval 这里使用一个例子来说明这个方法是如何对事件出现的可能性进行平滑的。仍然考虑在加法平滑法中统计单词的例子，根据古德-图灵方法进行修正如表\ref{tab:2-21}所示。
 
-\vspace{0.5em}
 %------------------------------------------------------
 \begin{table}[htp]{
 \begin{center}
 \caption{单词出现频次及古德-图灵平滑结果}
 {
 \begin{tabular}{l|lll}
-\rule{0pt}{10pt} $r$ & $n_r$ & $n^*$ & $\textrm{P}_r$\\ \hline
+\rule{0pt}{10pt} $r$ & $n_r$ & $r^*$ & $\textrm{P}_r$\\ \hline
 \rule{0pt}{10pt} 0 & 14 & 0.21 & 0.018 \\
 \rule{0pt}{10pt} 1 & 3 & 0.67 & 0.056 \\
 \rule{0pt}{10pt} 2 & 1 & 3 & 0.25 \\
@@ -959,7 +953,6 @@ c_{\textrm{KN}}(\cdot) = \left\{\begin{array}{ll}
 %----------------------------------------------------------------------------------------
 
 \sectionnewpage
-\vspace{-0.5em}
 \section{句法分析（短语结构分析）}
 \parinterval 通过前面两节的内容，已经了解什么叫做``词''、如何对分词问题进行统计建模。同时也了解了如何对词序列的生成进行概率描述。无论是分词还是语言模型都是句子浅层词串信息的一种表示。对于一个自然语言句子来说，它更深层次的结构信息可以通过句法信息来描述，而句法信息也是机器翻译和自然语言处理其他任务中常用的知识之一。
 
@@ -980,14 +973,13 @@ c_{\textrm{KN}}(\cdot) = \left\{\begin{array}{ll}
 \end{figure}
 %---------------------------
 
-\vspace{0.3em}
 \parinterval 图\ref{fig:2-20}右侧展示的是另一种句法结构，被称作依存句法树。依存句法树表示了句子中单词和单词之间的依存关系。比如，从这个例子可以了解，``猫''依赖``喜欢''，``吃''依赖``喜欢''，``鱼''依赖``吃''。
 
 \parinterval 短语结构树和依存句法树的结构和功能有很大不同。短语结构树的叶子节点是单词，中间节点是词性或者短语句法标记。在短语结构分析中，通常把单词称作{\small\bfnew{终结符}}\index{终结符}（Terminal）\index{Terminal}，把词性称为{\small\bfnew{预终结符}}\index{预终结符}（Pre-terminal）\index{Pre-terminal}，而把其他句法标记称为{\small\bfnew{非终结符}}\index{非终结符}（Non-terminal）\index{Non-terminal}。依存句法树没有预终结符和非终结符，所有的节点都是句子里的单词，通过不同节点间的连线表示句子中各个单词之间的依存关系。每个依存关系实际上都是有方向的，头和尾分别指向``接受''和``发出''依存关系的词。依存关系也可以进行分类，图\ref{fig:2-20}中我们对每个依存关系的类型都进行了标记，这也被称作是有标记的依存分析。如果不生成这些标记，这样的句法分析被称作无标记的依存分析。
 
 \parinterval 虽然短语结构树和依存树的句法表现形式有很大不同，但是它们在某些条件下能相互转化。比如，可以使用启发性规则将短语结构树自动转化为依存树。从应用的角度，依存分析由于形式更加简单，而且直接建模词语之间的依赖，因此在自然语言处理领域中受到很多关注。在机器翻译中，无论是哪种句法树结构，都已经被证明会对机器翻译系统产生帮助。特别是短语结构树，在机器翻译中的应用历史更长，研究更为深入，因此本节将会以短语结构分析为例介绍句法分析的相关概念。
 
-\parinterval 而句法分析到底是什么呢？简单的理解，句法分析就是在小学语文课程中学习的句子成分的分析，以及对句子中各个成分内部、外部关系的判断。更规范一些的定义，可以参照维基百科和百度百科的句法分析的解释。
+\parinterval 而句法分析到底是什么呢？简单的理解，句法分析就是在小学语文课程中学习的句子成分的分析，以及对句子中各个成分内部、外部关系的判断。更规范一些的定义，可以参照百度百科维基百科的句法分析的解释。
 
 %-------------------------------------------
 \vspace{-0.0em}
@@ -1005,15 +997,16 @@ c_{\textrm{KN}}(\cdot) = \left\{\begin{array}{ll}
 
 \begin{itemize}
 \vspace{0.5em}
-\item 形式化的文法：描述语言结构的定义，由文法规则组成
+\item 形式化的文法：描述语言结构的定义，由文法规则组成。
 \vspace{0.5em}
-\item 符号串：在本节中，符号串就是指词串，由前面提到的分词系统生成
+\item 符号串：在本节中，符号串就是指词串，由前面提到的分词系统生成。
 \vspace{0.5em}
-\item 分析：使用形式文法对符号串进行分析的具体方法，在这里指实现分析的计算机算法
+\item 分析：使用形式文法对符号串进行分析的具体方法，在这里指实现分析的计算机算法。
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 \end{itemize}
 
 \parinterval 以上三点是实现一个句法分析器的要素。本节的后半部分会对相关的概念和技术方法进行介绍。
+\vspace{-0.5em}
 
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 %    NEW SUB-SECTION
@@ -1065,7 +1058,6 @@ S=\{\textrm{IP}\} \nonumber
 
 最后，文法的规则集定义图\ref{fig:2-21}所示（其中$r_i$为规则的编号）
 
-%\setlength{\belowcaptionskip}{-1em}
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 \begin{figure}[htp]
     \centering
@@ -1133,8 +1125,7 @@ s_0 \overset{r_1}{\Rightarrow} s_1 \overset{r_2}{\Rightarrow} s_2 \overset{r_3}{
 \end{figure}
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-\vspace{0.5em}
-\parinterval 通常，可以把推导简记为$d=r_1 \circ r_2 \circ ... \circ r_n$，其中$ \circ $表示规则的组合。显然，$d$也对应了树形结构，也就是句法分析结果。从这个角度看，推导就是描述句法分析树的一种方式。此外，规则的推导也把规则的使用过程与生成的字符串对应起来。一个推导所生成的字符串，也被称作文法所产生的一个{\small\bfnew{句子}}\index{句子}（Sentence）\index{Sentence}。而一个文法所能生成的所有句子是这个文法所对应的{\small\bfnew{语言}}\index{语言}（Language）\index{Language}。
+\parinterval 通常，可以把推导简记为$d=r_1 \circ r_2 \circ ... \circ r_n$，其中$ \circ $表示规则的组合。显然，$d$也对应了树形结构，也就是句法分析结果。从这个角度看，推导就是描述句法分析树的一种方式。此外，规则的推导也把规则的使用过程与生成的字符串对应起来。一个推导所生成的字符串，也被称作文法所产生的一个{\small\bfnew{句子}}\index{句子}（Sentence）\index{Sentence}。而一个文法所能生成的所有句子的集合是这个文法所对应的{\small\bfnew{语言}}\index{语言}（Language）\index{Language}。
 
 \parinterval 但是，句子和规则的推导并不是一一对应的。同一个句子，往往有很多推导的方式，这种现象被称为{\small\bfnew{歧义}}\index{歧义}（Ambiguity）\index{Ambiguity}。甚至同一棵句法树，也可以对应不同的推导。图\ref{fig:2-23} 给出同一棵句法树所对应的两种不同的规则推导。
 
@@ -1148,11 +1139,12 @@ s_0 \overset{r_1}{\Rightarrow} s_1 \overset{r_2}{\Rightarrow} s_2 \overset{r_3}{
 \end{figure}
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-\vspace{0.5em}
 \parinterval 显然，规则顺序的不同会导致句法树的推导这一确定的过程变得不确定。因此，需要进行{\small\bfnew{消歧}}\index{消歧}（Disambiguation）\index{Disambiguation}。这里，可以使用启发式方法：要求规则使用都服从最左优先原则，这样得到的推导被称为{\small\bfnew{最左优先推导}}\index{最左优先推导}（Left-most Derivation）\index{Left-most Derivation}。图\ref{fig:2-23}中的推导1 就是符合最左优先原则的推导。
 
 \parinterval 这样，对于一个上下文无关文法，每一棵句法树都有唯一的最左推导与之对应。于是，句法分析可以被描述为：对于一个句子找到能够生成它的最佳推导，这个推导所对应的句法树就是这个句子的句法分析结果。
 
+\parinterval 不过问题又回来了，怎样才能知道什么样的推导或者句法树是``最佳''的呢？如图\ref{fig:2-24}所示，对于语言学专家，他们可以很确定的分辨出哪些句法树是正确的，哪些句法树是错误。甚至普通人也可以通过一些课本中学到的知识产生一些模糊的判断。而计算机如何进行判别呢？沿着前面介绍的统计建模的思想，计算机可以得出不同句法树出现的概率，进而选择概率最高的句法树作为输出，而这正是统计句法分析所做的事情。
+
 %-------------------------------------------
 \begin{figure}[htp]
     \centering
@@ -1162,8 +1154,6 @@ s_0 \overset{r_1}{\Rightarrow} s_1 \overset{r_2}{\Rightarrow} s_2 \overset{r_3}{
 \end{figure}
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-\parinterval 不过问题又回来了，怎样才能知道什么样的推导或者句法树是``最佳''的呢？对于语言学专家来说，可以很确定的分辨出哪些句法树是正确的，哪些句法树是错误。甚至对于普通人，也通过一些课本中学到知识产生一些模糊的判断。而计算机如何进行判别呢？沿着前面介绍的统计建模的思想，计算机可以得出不同句法树出现的概率，进而选择概率最高的句法树作为输出，而这正是统计句法分析所做的事情
-
 \parinterval 在统计句法分析中，需要对每个推导进行统计建模，于是定义一个模型$\textrm{P}( \cdot )$，对于任意的推导$d$，都可以用$\textrm{P}(d)$计算出推导$d$的概率。这样，给定一个输入句子，我们可以对所有可能的推导用$\textrm{P}(d)$计算其概率值，并选择概率最大的结果作为句法分析的结果输出（图\ref{fig:2-25}）。
 
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@@ -1234,6 +1224,7 @@ r_6: & & \textrm{VP} \to \textrm{VV}\ \textrm{NN} \nonumber
 \parinterval 这也对应了词串``吃\ 鱼''的生成过程。首先，从起始非终结符VP开始，使用规则$r_6$生成两个非终结符VV和NN；进一步，分别使用规则$r_3$和$r_4$从VV和NN进一步生成单词``吃''和``鱼''。整个过程的概率等于三条规则概率的乘积。
 
 \parinterval 新的问题又来了，如何得到规则的概率呢？这里仍然可以从数据中学习文法规则的概率。假设有人工标注的数据，它包括很多人工标注句法树的句法，称之为{\small\bfnew{树库}}\index{树库}（Treebank）\index{Treebank}。然后，对于规则$\textrm{r}:\alpha \to \beta$可以使用极大似然估计：
+
 \begin{eqnarray}
 \textrm{P}(r)  = \frac{\text{规则$r$在树库中出现的次数}}{\alpha \text{在树库中出现的次数}}
 \label{eq:2-49}
@@ -1250,9 +1241,8 @@ r_6: & & \textrm{VP} \to \textrm{VV}\ \textrm{NN} \nonumber
 \end{figure}
 %-------------------------------------------
 
-\vspace{0.5em}
 \parinterval 图\ref{fig:2-27}展示了基于统计的句法分析的流程。首先，通过树库上的统计，获得各个规则的概率，这样就得到了一个上下文无关句法分析模型$\textrm{P}( \cdot )$。对于任意句法分析结果$d=r_1 \circ r_2 \circ ... \circ r_n$，都能通过如下公式计算其概率值：
-\setlength{\belowdisplayskip}{1pt}
+
 \begin{equation}
 \textrm{P}(d)= \prod_{i=1}^{n}\textrm{P}(r_i)
 \end{equation}
@@ -1266,7 +1256,6 @@ r_6: & & \textrm{VP} \to \textrm{VV}\ \textrm{NN} \nonumber
 \end{figure}
 %-------------------------------------------
 
-\vspace{1em}
 \parinterval 在获取统计分析模型后，就可以使用模型对任意句子进行分析，计算每个句法分析树的概率，并输出概率最高的树作为句法分析的结果。
 
 %----------------------------------------------------------------------------------------
@@ -1274,7 +1263,6 @@ r_6: & & \textrm{VP} \to \textrm{VV}\ \textrm{NN} \nonumber
 %----------------------------------------------------------------------------------------
 
 \sectionnewpage
-\vspace{0.5em}
 \section{小结及深入阅读} \label{sec2:summary}
 
 \parinterval 本章重点介绍了如何对自然语言处理问题进行统计建模，并从数据中自动学习统计模型的参数，最终使用学习到的模型对新的问题进行处理。之后，本章将这种思想应用到三个自然语言处理任务中，包括：中文分词、语言建模、句法分析，它们也和机器翻译有着紧密的联系。通过系统化的建模，可以发现：经过适当的假设和化简，统计模型可以很好的描述复杂的自然语言处理问题。相关概念和方法也会在后续章节的内容中被广泛使用。
@@ -1284,9 +1272,9 @@ r_6: & & \textrm{VP} \to \textrm{VV}\ \textrm{NN} \nonumber
 \begin{adjustwidth}{1em}{}
 \begin{itemize}
 \vspace{0.5em}
-\item 在建模方面，本章介绍的三个任务均采用的是基于人工先验知识进行模型设计的思路。也就是，问题所表达的现象被``一步一步''生成出来。这是一种典型的生成式建模思想，它把要解决的问题看作一些观测结果的隐含变量（比如，句子是观测结果，分词结果是隐含在背后的变量），之后通过对隐含变量生成观测结果的过程进行建模，以达到对问题进行数学描述的目的。这类模型一般需要依赖一些独立性假设，假设的合理性对最终的性能有较大影响。相对于{\small\sffamily\bfseries{生成模型}}\index{生成模型}（Generative Model）\index{Generative Model}，另一类方法{\small\sffamily\bfseries{判别模型}}\index{判别模型}（Discriminative Model）\index{Discriminative Model}，它直接描述了从隐含变量生成观测结果的过程，这样对问题的建模更加直接，同时这类模型可以更加灵活的引入不同的特征。判别模型在自然语言处理中也有广泛应用\cite{shannon1948mathematical}\cite{ng2002discriminative}。 在本书的第四章也会使用到判别式模型。
+\item 在建模方面，本章介绍的三个任务均采用的是基于人工先验知识进行模型设计的思路。也就是，问题所表达的现象被``一步一步''生成出来。这是一种典型的生成式建模思想，它把要解决的问题看作一些观测结果的隐含变量（比如，句子是观测结果，分词结果是隐含在背后的变量），之后通过对隐含变量生成观测结果的过程进行建模，以达到对问题进行数学描述的目的。这类模型一般需要依赖一些独立性假设，假设的合理性对最终的性能有较大影响。相对于{\small\sffamily\bfseries{生成模型}}\index{生成模型}（Generative Model）\index{Generative Model}，另一类方法是{\small\sffamily\bfseries{判别模型}}\index{判别模型}（Discriminative Model）\index{Discriminative Model}，它直接描述了从隐含变量生成观测结果的过程，这样对问题的建模更加直接，同时这类模型可以更加灵活的引入不同的特征。判别模型在自然语言处理中也有广泛应用\cite{shannon1948mathematical}\cite{ng2002discriminative}。 在本书的第四章也会使用到判别式模型。
 \vspace{0.5em}
-\item 从现在自然语言处理的前沿看，基于端到端学习的深度学习方法在很多任务中都取得了领先的性能。但是，本章并没有涉及深度学习及相关方法，这是由于笔者认为：对问题的建模是自然语言处理的基础，对问题的本质刻画并不会因为方法的改变而改变。因此，本章的内容没有太多的陷入到更加复杂的模型和算法设计中，相反，我们希望关注对基本问题的理解和描述。不过，一些前沿方法仍可以作为参考，包括：基于条件随机场和双向长短时记忆模型的序列标注模型\cite{lafferty2001conditional}\cite{huang2015bidirectional}\cite{ma2016end}、神经语言模型\cite{bengio2003neural}\cite{mikolov2010recurrent}、神经句法分析模型\cite{chen2014fast}\cite{zhu2015long}。
+\item 从现在自然语言处理的前沿看，基于端到端学习的深度学习方法在很多任务中都取得了领先的性能。但是，本章并没有涉及深度学习及相关方法，这是由于笔者认为：对问题的建模是自然语言处理的基础，对问题的本质刻画并不会因为方法的改变而改变。因此，本章的内容没有太多地陷入到更加复杂的模型和算法设计中，相反，我们希望关注对基本问题的理解和描述。不过，一些前沿方法仍可以作为参考，包括：基于条件随机场和双向长短时记忆模型的序列标注模型\cite{lafferty2001conditional}\cite{huang2015bidirectional}\cite{ma2016end}、神经语言模型\cite{bengio2003neural}\cite{mikolov2010recurrent}、神经句法分析模型\cite{chen2014fast}\cite{zhu2015long}。
 \vspace{0.5em}
 \item 此外，本章并没有对模型的推断方法进行深入介绍。比如，对于一个句子如何有效的找到概率最大的分词结果？显然，简单枚举是不可行的。对于这类问题比较简单的解决方法是使用动态规划\cite{huang2008advanced}。如果使用动态规划的条件不满足，可以考虑使用更加复杂的搜索策略，并配合一定剪枝方法。实际上，无论是$n$-gram语言模型还是简单的上下文无关文法都有高效的推断方法。比如，$n$-gram语言模型可以被视为概率有限状态自动机，因此可以直接使用成熟的自动机工具。对于更复杂的句法分析问题，可以考虑使用移进-规约方法来解决推断问题\cite{aho1972theory}。
 \vspace{0.5em}