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Toy-MT-Introduction
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Book/Chapter2/Figures/figure-schematic-edge-probability&joint-probability.tex
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\begin{scope}[scale=1.0]
{
\node [anchor=north west,minimum width=5em, minimum height=2.2em,fill=blue!70](num1) at (0,0) {\quad \ A};
\node [anchor=north west,minimum width=2em, minimum height=2.2em,fill=green!70](num2) at ([xshift=3.8em,yshift=2.23em]num1.south west) {B};
\node [anchor=north west,minimum width=7em, minimum height=2.5em,fill=blue!30](num1) at (0,0) {$A$\quad \quad \quad \quad };
\node [anchor=west,minimum width=7em, minimum height=5em,fill=ugreen!30](num2) at ([xshift=-3em]num1.east) {\quad \quad $B$};
\node [anchor=west,minimum width=3em, minimum height=2.5em,fill=yellow!30](part1) at (num2.west) {$C$};
\node [anchor=north west,minimum width=3.8em, minimum height=2.2em,fill=yellow!70](part1) at ([xshift=5.8em,yshift=2.23em]num1.south west) {C\quad \ };
\draw [-,very thick,black] (num1.north west)--(num2.north west)--(num2.south west)--(num1.south west)--([yshift=0.05em]num1.north west);
\draw [-,very thick,black] (num2.north west)--(num2.north east)--(num2.south east)--(num2.south west)--(num2.north west);
\draw [-,very thick,black] (num2.north east)--(part1.north east)--(part1.south east)--(num2.south east);
\draw [-,thick] (num1.north west) -- (num1.north east) -- (num1.south east) -- (num1.south west) -- (num1.north west);
\draw [-,very thick,dotted] (num2.north west) -- (num2.north east) -- (num2.south east) -- (num2.south west) -- (num2.north west);
}
\end{scope}
......
Book/Chapter2/chapter2.tex
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\subsection{随机变量和概率}\index{Chapter2.2.1}
\parinterval 在自然界中，很多{\small\bfnew{事件}}（Event）是否会发生是不确定的。例如，明天会下雨、掷一枚硬币是正面朝上、扔一个骰子的点数是5$\cdots\cdots$这类事件可能会发生也可能不会发生。通过大量的重复试验，能发现其具有某种规律性的事件叫做{\small\sffamily\bfseries{随机事件}}。
\parinterval {\small\sffamily\bfseries{随机变量}}（random variable）是对随机事件发生可能状态的描述，是随机事件的数量表征。设$\Omega = \{ \omega \}$为一个随机试验的样本空间，$X=X(\omega)$就是定义在样本空间$\omega$上的单值实数函数，即$X=X(\omega)$为随机变量，记为$X$。随机变量是一种能随机选取数值的变量，常用大写的英文字母或希腊字母表示，其取值通常用小写字母来表示。例如，用$A$ 表示一个随机变量，用$a$表示变量$A$的一个取值。根据随机变量可以选取的值，可以将其划分为离散变量和连续变量。
\parinterval {\small\sffamily\bfseries{随机变量}}（Random Variable）是对随机事件发生可能状态的描述，是随机事件的数量表征。设$\Omega = \{ \omega \}$为一个随机试验的样本空间，$X=X(\omega)$就是定义在样本空间$\omega$上的单值实数函数，即$X=X(\omega)$为随机变量，记为$X$。随机变量是一种能随机选取数值的变量，常用大写的英文字母或希腊字母表示，其取值通常用小写字母来表示。例如，用$A$ 表示一个随机变量，用$a$表示变量$A$的一个取值。根据随机变量可以选取的值，可以将其划分为离散变量和连续变量。
\parinterval 离散变量是指在其取值区间内可以被一一列举，总数有限并且可计算的数值变量。例如，用随机变量$X$代表某次投骰子出现的点数，点数只可能取1$\sim$6这6个整数，$X$就是一个离散变量。
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\parinterval {\small\bfnew{概率}}（Probability）是度量随机事件呈现其每个可能状态的可能性的数值，本质上它是一个测度函数\cite{mao-prob-book-2011}\cite{kolmogorov2018foundations}。概率的大小表征了随机事件在一次试验中发生的可能性大小。用$\textrm{P}(\cdot )$表示一个随机事件的可能性，即事件发生的概率。比如$\textrm{P}(\textrm{太阳从东方升起})$表示``太阳从东方升起的可能性''，同理，$\textrm{P}(A=B)$ 表示的就是``$A=B$'' 这件事的可能性。
\parinterval 在实际问题中，我们往往需要得到某些概率值。但是，真实的概率值往往是无法准确知道的，这时就需要对概率进行{\small\sffamily\bfseries{估计}}，得到的结果是概率的{\small\sffamily\bfseries{估计值}}（estimate）。在概率论中，一个很简单的获取概率的方式是利用相对频度作为概率的估计值。如果$\{x_1,x_2,\dots,x_n \}$是一个试验的样本空间，在相同情况下重复试验N次，观察到样本$x_i (1\leq{i}\leq{n})$的次数为$n_N (x_i )$，那么$x_i$在这N次试验中的相对频率是$\frac{n_N (x_i )}{N}$。当N越来越大时，相对概率也就越来越接近真实概率$\textrm{P}(x_i)$，即$\lim_{N \to \infty}\frac{n_N (x_i )}{N}=\textrm{P}(x_i)$。 实际上，很多概率模型都等同于相对频度估计，比如，对于一个多项式分布变量的概率的极大似然估计就可以用相对频度估计实现。
\parinterval 在实际问题中，我们往往需要得到随机变量的概率值。但是，真实的概率值可能是无法准确知道的，这时就需要对概率进行{\small\sffamily\bfseries{估计}}，得到的结果是概率的{\small\sffamily\bfseries{估计值}}（Estimate）。在概率论中，一个很简单的方法是利用相对频度作为概率的估计值。如果$\{x_1,x_2,\dots,x_n \}$是一个试验的样本空间，在相同情况下重复试验$N$次，观察到样本$x_i (1\leq{i}\leq{n})$的次数为$n (x_i )$，那么$x_i$在这$N$次试验中的相对频率是$\frac{n(x_i )}{N}$。当$N$越来越大时，相对概率也就越来越接近真实概率$\textrm{P}(x_i)$，即$\lim_{N \to \infty}\frac{n(x_i )}{N}=\textrm{P}(x_i)$。 实际上，很多概率模型都等同于相对频度估计，比如，对于一个服从多项式分布的变量的极大似然估计就可以用相对频度估计实现。
\parinterval 概率函数是用函数形式给出离散变量每个取值发生的概率，其实就是将变量的概率分布转化为数学表达形式。如果我们把$A$看做一个离散变量，$a$看做变量$A$的一个取值，那么$\textrm{P}(A)$被称作变量$A$的概率函数，$\textrm{P}(A=a)$被称作$A = a$的概率值，简记为$\textrm{P}(a)$。例如，在相同条件下掷一个骰子50次，用$A$表示投骰子出现的点数这个离散变量，$a_i$表示点数的取值，$\textrm{P}_i$表示$A=a_i$的概率值。下表为$A$的概率分布，给出了$A$的所有取值及其概率。
%表1--------------------------------------------------------------------
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\centering
\caption{离散变量$A$的概率分布}
\begin{tabular}{c|c c c c c c}
\rule{0pt}{15pt} A & $a_1=1$ & $a_2=2$ & $a_3=3$ & $a_4=4$ & $a_5=5$ & $a_6=6$\\
\rule{0pt}{15pt} $A$ & $a_1=1$ & $a_2=2$ & $a_3=3$ & $a_4=4$ & $a_5=5$ & $a_6=6$\\
\hline
\rule{0pt}{15pt} $\textrm{P}_i$ & $\textrm{P}_1=\frac{4}{25}$ & $\textrm{P}_2=\frac{3}{25}$ & $\textrm{P}_3=\frac{4}{25}$ & $\textrm{P}_4=\frac{6}{25}$ & $\textrm{P}_5=\frac{3}{25}$ & $\textrm{P}_6=\frac{1}{25}$ \\
\end{tabular}
......@@ -97,11 +97,17 @@
\end{table}
%表1--------------------------------------------------------------------
\parinterval 除此之外，概率函数$\textrm{P}(\cdot)$还具有非负性、归一性等特点，非负性是指，所有的概率函数$\textrm{P}(\cdot)$都必须是大于等于0的数值，概率函数中不可能出现负数：$\forall{x},\textrm{P}{(x)}\geq{0}$。归一性，又称规范性，简单的说就是所有可能发生的事件的概率总和为一,$\sum_{x}\textrm{P}{(x)}={1}$。
\parinterval 除此之外，概率函数$\textrm{P}(\cdot)$还具有非负性、归一性等特点，非负性是指，所有的概率函数$\textrm{P}(\cdot)$都必须是大于等于0的数值，概率函数中不可能出现负数：$\forall{x},\textrm{P}{(x)}\geq{0}$。归一性，又称规范性，简单的说就是所有可能发生的事件的概率总和为1，即$\sum_{x}\textrm{P}{(x)}={1}$。
\parinterval 对于离散变量$A$，$\textrm{P}(A=a)$是个确定的值，可以表示事件$A=a$的可能性大小；而对于连续变量，求在某个定点处的概率是无意义的，只能求其落在某个取值区间内的概率。因此，用{\small\sffamily\bfseries{概率分布函数$F(x)$}}和{\small\sffamily\bfseries{概率密度函数}}$f(x)$来统一描述随机变量的取值分布情况。概率分布函数$F(x)$取值小于某个值的概率，是概率的累加形式。假设$A$是一个随机变量，$a$是任意实数，将函数$F(a)=\textrm{P}\{A\leq a\}$，$-\infty<a<\infty $定义为$A$的分布函数。通过分布函数，我们可以清晰地表示任何随机变量的概率。
\parinterval 对于离散变量$A$，$\textrm{P}(A=a)$是个确定的值，可以表示事件$A=a$的可能性大小；而对于连续变量，求在某个定点处的概率是无意义的，只能求其落在某个取值区间内的概率。因此，用{\small\sffamily\bfseries{概率分布函数$F(x)$}}和{\small\sffamily\bfseries{概率密度函数}}$f(x)$来统一描述随机变量的取值分布情况。概率分布函数$F(x)$表示取值小于某个值的概率，是概率的累加（或积分）形式。假设$A$是一个随机变量，$a$是任意实数，将函数$F(a)=\textrm{P}\{A\leq a\}$，$-\infty<a<\infty $定义为$A$的分布函数。通过分布函数，我们可以清晰地表示任何随机变量的概率。
\parinterval 对于连续变量，我们不能像离散变量一样列出所有的概率取值，而是用概率密度函数来描述分布情况。概率密度函数反映了变量在某个区间内的概率变化快慢，概率密度函数的值是概率的变化率，该连续变量的概率也就是对概率密度函数求积分得到的结果。设$f(x) \geq 0$是连续变量$X$的概率密度函数，$X$的分布函数就可以用$F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx \ (x\in \mathbb{R})$来表示。
\parinterval 概率密度函数反映了变量在某个区间内的概率变化快慢，概率密度函数的值是概率的变化率，该连续变量的概率也就是对概率密度函数求积分得到的结果。设$f(x) \geq 0$是连续变量$X$的概率密度函数，$X$的分布函数就可以用如下公式定义：
%----------------------------------------------
\begin{eqnarray}
F(X)=\int_{-\infty}^x f(x)dx
\end{eqnarray}
%----------------------------------------------
%----------------------------------------------
% 图2.3
......@@ -114,24 +120,22 @@
%-------------------------------------------
\subsection{联合概率、条件概率和边缘概率}\index{Chapter2.2.2}
\parinterval {\small\sffamily\bfseries{联合概率}}（joint probability）是指多个事件同时发生，每个随机变量满足各自条件的概率，表示为$\textrm{P}(AB)$。
\parinterval {\small\sffamily\bfseries{条件概率}}（conditional probability）是指$A$、$B$为任意的两个事件，在事件$A$已出现的前提下，事件$B$出现的概率，使用$\textrm{P}(B \mid A)$表示。通常来说，$\textrm{P}(B \mid A) \neq \textrm{P}(B)$。
\parinterval {\small\sffamily\bfseries{联合概率}}（Joint Probability）是指多个事件同时发生，每个随机变量满足各自条件的概率，表示为$\textrm{P}(AB)$。{\small\sffamily\bfseries{条件概率}}（Conditional Probability）是指$A$、$B$为任意的两个事件，在事件$A$已出现的前提下，事件$B$出现的概率，使用$\textrm{P}(B \mid A)$表示。通常来说，$\textrm{P}(B \mid A) \neq \textrm{P}(B)$。
\parinterval 贝叶斯法则是条件概率计算时的重要依据，条件概率可以表示为
%----------------------------------------------
\begin{eqnarray}
\textrm{P}{(B|A)} = \frac{\textrm{P}(A\cap{B})}{\textrm{P}(A)} = \frac{\textrm{P}(A)\textrm{P}(B|A)}{\textrm{P}(A)} = \frac{\textrm{P}(B)\textrm{P}(A|B)}{\textrm{P}(A)}
\textrm{P}{(B|A)} & = & \frac{\textrm{P}(A\cap{B})}{\textrm{P}(A)} \nonumber \\
& = & \frac{\textrm{P}(A)\textrm{P}(B|A)}{\textrm{P}(A)} \nonumber \\
& = & \frac{\textrm{P}(B)\textrm{P}(A|B)}{\textrm{P}(A)}
\label{eq:2.1-1}
\end{eqnarray}
%----------------------------------------------
\parinterval {\small\sffamily\bfseries{边缘概率}}（marginal probability）是和联合概率对应的，它指的是$\textrm{P}(X=a)$或$\textrm{P}(Y=b)$，即仅与单个随机变量有关的概率称为边缘概率。
\parinterval 对于离散随机变量$X$和$Y$，我们知道$\textrm{P}(X,Y)$，则边缘概率$\textrm{P}(X)$可以通过求和的方式得到，如下式所示
\parinterval {\small\sffamily\bfseries{边缘概率}}（marginal probability）是和联合概率对应的，它指的是$\textrm{P}(X=a)$或$\textrm{P}(Y=b)$，即仅与单个随机变量有关的概率称为边缘概率。对于离散随机变量$X$和$Y$，我们知道$\textrm{P}(X,Y)$，则边缘概率$\textrm{P}(X)$可以通过求和的方式得到。对于$\forall x \in X $，有
\begin{eqnarray}
\forall x \in X ,\textrm{P}(X=x)=\sum_{y} \textrm{P}(X=x,Y=y)
\textrm{P}(X=x)=\sum_{y} \textrm{P}(X=x,Y=y)
\label{eq:2.2-2}
\end{eqnarray}
%----------------------------------------------
......@@ -143,45 +147,44 @@
\end{eqnarray}
%----------------------------------------------
\parinterval 为了更好的区分条件概率、边缘概率和联合概率，我们将通过图\ref{fig:2.2-2}所示的面积来举例说明。
\parinterval 为了更好的区分条件概率、边缘概率和联合概率，这里我们用一个图形面积的计算来举例说明。如图\ref{fig:2.2-2}所示，矩形$A$代表事件$X$发生所对应的所有可能状态，矩形$B$代表事件$Y$发生所对应的所有可能状态，矩形$C$代表$A$和$B$的交集，则
\begin{itemize}
\item 边缘概率：矩形$A$或者矩形$B$的面积；
\item 联合概率：矩形$C$的面积；
\item 条件概率：联合概率/对应的边缘概率，如：$\textrm{P}(A \mid B)$=矩形$C$的面积/矩形B的面积。
\end{itemize}
%----------------------------------------------
% 图2.4
\begin{figure}[htp]
\centering
\input{./Chapter2/Figures/figure-schematic-edge-probability&joint-probability}
\caption{一个概率密度函数与其对应的分布函数}
\caption{$A$、$B$、$C$事件所对应概率的图形化表示}
\label{fig:2.2-2}
\end{figure}
%-------------------------------------------
\parinterval 如图\ref{fig:2.2-2}所示，矩形A代表事件X发生所对应的所有可能状态，矩形B代表事件Y发生所对应的所有可能状态，矩形C代表A和B的交集，则
\parinterval 边缘概率：矩形A或者矩形B的面积；
\parinterval 联合概率：矩形C的面积；
\parinterval 条件概率：联合概率/对应的边缘概率，如：$\textrm{P}(A \mid B)$=矩形C的面积/矩形B的面积。
\subsection{链式法则}\index{Chapter2.2.3}
\parinterval 由条件概率公式$\textrm{P}(a \mid b)=\textrm{P}(ab)/\textrm{P}(b)$反应了事件b发生的条件下事件a发生的概率。如果我们将其推广到三个事件$a$、$b$、$c$，为了计算$\textrm{P}(a,b,c)$我们可以运用两次$\textrm{P}(a \mid b)=\textrm{P}(ab)/\textrm{P}(b)$，计算过程如下：
\parinterval 条件概率公式$\textrm{P}(a \mid b)=\textrm{P}(ab)/\textrm{P}(b)$反应了事件$b$发生的条件下事件$a$发生的概率。如果将其推广到三个事件$a$、$b$、$c$，为了计算$\textrm{P}(a,b,c)$，我们可以运用两次$\textrm{P}(a \mid b)=\textrm{P}(ab)/\textrm{P}(b)$，计算过程如下：
\begin{eqnarray}
\textrm{P}(a,b,c) & = & \textrm{P}(a \mid b ,c)\textrm{P}(b,c) \nonumber \\
\textrm{P}(b,c) & = & \textrm{P}(b \mid c)\textrm{P}(c)\nonumber \\
\textrm{P}(a,b,c) & = & \textrm{P}(a \mid b,c)\textrm{P}(b \mid c)\textrm{P}(c)
& = & \textrm{P}(a \mid b,c)\textrm{P}(b \mid c)\textrm{P}(c)
\label{eq:2.2-4}
\end{eqnarray}
%----------------------------------------------
\parinterval 推广到$n$个事件，我们得到了链式法则的公式
\begin{eqnarray}
\textrm{P}(x_1,x_2,...,x_n)=\textrm{P}(x_1) \prod_{i=2}^n \textrm{P}(x_i \mid x_1,x_2,...,x_{(i-1)})
\textrm{P}(x_1,x_2,...,x_n)=\textrm{P}(x_1) \prod_{i=2}^n \textrm{P}(x_i \mid x_1,x_2,...,x_{i-1})
\label{eq:2.2-5}
\end{eqnarray}
%----------------------------------------------
\parinterval 我们可以通过下面这个例子更好的理解链式法则，如图所示，$A$、$B$、$C$、$D$、\\ $E$分别代表五个事件，其中，$A$只和$B$有关，$C$只和$B$、$D$有关，$E$只和$C$有关，$B$和\\ $D$不依赖其他任何事件。则$\textrm{P}(A,B,C,D,E)$的表达式如下式：
\parinterval 我们可以通过下面这个例子更好的理解链式法则，如图所示，$A$、$B$、$C$、$D$、\\ $E$分别代表五个事件，其中，$A$只和$B$有关，$C$只和$B$、$D$有关，$E$只和$C$有关，$B$和$D$不依赖其他任何事件。则$\textrm{P}(A,B,C,D,E)$的表达式如下式：
%----------------------------------------------
% 图2.5
......@@ -189,19 +192,20 @@
\centering
\input{./Chapter2/Figures/figure-schematic-chain-rule}
\setlength{\belowcaptionskip}{-1cm}
\caption{事件A,B,C,D,E之间的关系图}
\caption{事件$A$、$B$、$C$、$D$、$E$之间的关系图}
\label{fig:2.2-3}
\end{figure}
%-------------------------------------------
\begin{eqnarray}
\textrm{P}(A,B,C,D,E)&=&\textrm{P}(E \mid A,B,C,D) \cdot \textrm{P}(A,B,C,D) \nonumber \\
& & \textrm{P}(A,B,C,D,E) \nonumber \\
&=&\textrm{P}(E \mid A,B,C,D) \cdot \textrm{P}(A,B,C,D) \nonumber \\
&=&\textrm{P}(E \mid A,B,C,D) \cdot \textrm{P}(D \mid A,B,C) \cdot \textrm{P}(A,B,C) \nonumber \\
&=&\textrm{P}(E \mid A,B,C,D) \cdot \textrm{P}(D \mid A,B,C) \cdot \textrm{P}(C \mid A,B) \cdot \textrm{P}(A,B) \nonumber \\
&=&\textrm{P}(E \mid A,B,C,D) \cdot \textrm{P}(D \mid A,B,C) \cdot \textrm{P}(C \mid A,B) \cdot \textrm{P}(B \mid A) \cdot \textrm{P}(A)\nonumber \\
&=&\textrm{P}(E \mid A,B,C,D) \cdot \textrm{P}(D \mid A,B,C) \cdot \textrm{P}(C \mid A,B) \cdot \textrm{P}(B \mid A) \cdot \textrm{P}(A)
\label{eq:2.2-6}
\end{eqnarray}
\parinterval 根据图\ref {fig:2.2-3} 易知$E$只和$C$有关，所以$\textrm{P}(E \mid A,B,C,D)=\textrm{P}(E \mid C)$；$D$不依赖于其他事件，所以$\textrm{P}(D \mid A,B,C)=\textrm{P}(D)$；$C$只和$BD$有关，所以$\textrm{P}(C \mid A,B)=\textrm{P}(C \mid B)$；$B$不依赖于其他事件，所以$\textrm{P}(B \mid A)=\textrm{P}(B)$。最终化简可得：
\parinterval 根据图\ref {fig:2.2-3} 易知$E$只和$C$有关，所以$\textrm{P}(E \mid A,B,C,D)=\textrm{P}(E \mid C)$；$D$不依赖于其它事件，所以$\textrm{P}(D \mid A,B,C)=\textrm{P}(D)$；$C$只和$B$、$D$有关，所以$\textrm{P}(C \mid A,B)=\textrm{P}(C \mid B)$；$B$不依赖于其他事件，所以$\textrm{P}(B \mid A)=\textrm{P}(B)$。最终化简可得：
%---------------------------------------------
\begin{eqnarray}
\textrm{P}(A,B,C,D,E)=\textrm{P}(E \mid C) \cdot \textrm{P}(D) \cdot \textrm{P}(C \mid B) \cdot \textrm{P}(B)
......@@ -209,29 +213,28 @@
\end{eqnarray}
%---------------------------------------------
\parinterval 由此可以看出使用链式法则可以大大减小求解概率表达式时的计算量。
\subsection{贝叶斯法则}\index{Chapter2.2.4}
\parinterval 首先介绍一下全概率公式：全概率公式（Law of total probability）是概率论中重要的公式，它可以将一个复杂事件发生的概率分解成不同情况的小事件发生概率的和。这里我们先介绍一个概念——划分。
\parinterval 若集合S的一个划分事件为$B_1,…,B_n$是指它们满足$\bigcup_{i=1}^n B_i=S \textrm{且}B_iB_j=\varnothing , i,j=1,...,n,i\neq j$。设$B_1,…,B_n$是S的一个划分，A为事件，则
\parinterval 首先介绍一下全概率公式：{\small\bfnew{全概率公式}}（Law of Total Probability）是概率论中重要的公式，它可以将一个复杂事件发生的概率分解成不同情况的小事件发生概率的和。这里我们先介绍一个概念——划分。若集合$S$的一个划分事件为$\{B_1,...,B_n\}$是指它们满足$\bigcup_{i=1}^n B_i=S \textrm{且}B_iB_j=\varnothing , i,j=1,...,n,i\neq j$。设$\{B_1,...,B_n\}$是$S$的一个划分，则事件$A$的全概率公式可以被描述为：
%---------------------------------------------
\begin{eqnarray}
\textrm{P}(A)=\sum_{k=1}^n \textrm{P}(A \mid B_k)\textrm{P}(B_k)
\label{eq:2.2-9}
\end{eqnarray}
%---------------------------------------------
\parinterval 这就是全概率公式。
\parinterval 举个例子，小张从家到公司有三条路分别为$a$，$b$，$c$，选择每条路的概率分别为0.5，0.3，0.2，那么：
\parinterval 举个例子，小张从家到公司有三条路分别为$a$，$b$，$c$，选择每条路的概率分别为0.5，0.3，0.2。令：
\parinterval $S_a$: 选择a路去上班，$S_b$: 选择b路去上班，$S_c$: 选择c路去上班 $S$：小张去上班
\begin{itemize}
\item $S_a$: 选择a路去上班
\item $S_b$: 选择b路去上班
\item $S_c$: 选择c路去上班
\item $S$：小张去上班
\end{itemize}
\parinterval 这四件事的关系即为：$S_a$，$S_b$，$S_c$是$S$的划分。
\parinterval 显然，$S_a$，$S_b$，$S_c$是$S$的划分。如果三条路不拥堵的概率分别为$\textrm{P}({S_{a}^{'}})$=0.2，$\textrm{P}({S_{b}^{'}})$=0.4，$\textrm{P}({S_{c}^{'}})$=0.7，那么事件$L$：小张上班没有遇到拥堵情况的概率就是：
\parinterval 如果三条路不拥堵的概率分别为$\textrm{P}({S_{a}^{'}})$=0.2，$\textrm{P}({S_{b}^{'}})$=0.4，$\textrm{P}({S_{c}^{'}})$=0.7，那么事件$L$：小张上班没有遇到拥堵情况的概率就是：
%--------------------------------------------
\begin{eqnarray}
{\textrm{P}(L)} &=& {\textrm{P}( L| S_a )\textrm{P}(S_a )+\textrm{P}( L| S_b )\textrm{P}(S_b )+\textrm{P}( L| S_c )\textrm{P}(S_c )}\nonumber \\
......@@ -240,49 +243,24 @@
\end{eqnarray}
%--------------------------------------------
\parinterval {\small\sffamily\bfseries{贝叶斯法则}}（Bayes’ rule）是概率论中的一个定理，通常用于知$\textrm{P}(A \mid B)$求$\textrm{P}(B \mid A)$。其内容如下：
%--------------------------------------------
\parinterval {\small\sffamily\bfseries{贝叶斯法则}}（Bayes' rule）是概率论中的一个经典公式，通常用于已知$\textrm{P}(A \mid B)$求$\textrm{P}(B \mid A)$。可以表述为：设$\{B_1,...,B_n\}$是$S$的一个划分，$A$为事件，则对于$i=1,...,n$，有如下公式
\parinterval 设$B_1,…,B_n$是S的一个划分，A为事件，则对于$i=1,…,n$，有如下公式
%--------------------------------------------
\begin{eqnarray}
\textrm{P}(B_i \mid A)=\frac {\textrm{P}(A \mid B_i)\textrm{P}(B_i) } { \sum_{k=1}^n\textrm{P}(A \mid B_k)\textrm{P}(B_k) }
\textrm{P}(B_i \mid A) & = & \frac {\textrm{P}(A B_i)} { \textrm{P}(A) } \nonumber \\
& = & \frac {\textrm{P}(A \mid B_i)\textrm{P}(B_i) } { \sum_{k=1}^n\textrm{P}(A \mid B_k)\textrm{P}(B_k) }
\label{eq:2.2-10}
\end{eqnarray}
%--------------------------------------------
\parinterval 来看一下贝叶斯公式的推导。由前面的知识，我们知道条件概率的公式为
\begin{eqnarray}
\textrm{P}(B \mid A)= \frac {\textrm{P}(AB)} {\textrm{P}(A)}
\label{eq:2.2-11}
\end{eqnarray}
\parinterval 由乘法定理我们可以得到
\begin{eqnarray}
\textrm{P}(AB)=\textrm{P}(B)\textrm{P}(A \mid B)
\label{eq:2.2-12}
\end{eqnarray}
\parinterval 设$B_1,…,B_n$是S的一个划分，A为事件，由全概率公式我们可以得到
\begin{eqnarray}
\textrm{P}(A)=\textrm{P}(A \mid B_1)\textrm{P}(B_1)+\textrm{P}(A \mid B_2)\textrm{P}(B_2)+\ldots +\textrm{P}(A \mid B_n)\textrm{P}(B_n)
\label{eq:2.2-13}
\end{eqnarray}
\parinterval 将乘法定理带入条件概率的分子，将全概率公式带入条件概率的分母，我们就可以得到贝叶斯定理
\begin{eqnarray}
\textrm{P}(B_i \mid A)=\frac {\textrm{P}(A \mid B_i)\textrm{P}(B_i) } {\sum_{k=1}^n \textrm{P}(A\mid B_k)\textrm{P}(B_k)}
\label{eq:2.2-14}
\end{eqnarray}
\parinterval 由上式，我们也可以得到贝叶斯公式的另外两种写法:
\begin{eqnarray}
\textrm{P}(A \mid B)=\frac { \textrm{P}(A \mid B)\textrm{P}(B) } {\textrm{P}(A)}
\label{eq:2.2-15}
\end{eqnarray}
\noindent 其中，等式右端的分母部分使用了全概率公式。由上式，我们也可以得到贝叶斯公式的另外两种写法:
\begin{eqnarray}
\textrm{P}(A \mid B)=\frac { \textrm{P}(A \mid B)\textrm{P}(B) } {\textrm{P}(A \mid B)\textrm{P}(B)+\textrm{P}(A \mid \bar{B}) \textrm{P}(\bar{B})}
\textrm{P}(A \mid B) & = & \frac { \textrm{P}(A \mid B)\textrm{P}(B) } {\textrm{P}(A)} \\
\textrm{P}(A \mid B) & = & \frac { \textrm{P}(A \mid B)\textrm{P}(B) } {\textrm{P}(A \mid B)\textrm{P}(B)+\textrm{P}(A \mid \bar{B}) \textrm{P}(\bar{B})}
\label{eq:2.2-16}
\end{eqnarray}
%--------------------------------------------
\parinterval 贝叶斯公式常用于根据已知的结果来推断使之发生的各因素的可能性。
......@@ -399,11 +377,11 @@
\parinterval 不过，机器翻译并不仅仅局限在语言学定义的单词，因此机器翻译系统所使用的分词也不仅仅把句子按照词切开，比如，神经机器翻译中广泛使用的BPE子词切分方法，可以被理解为将词的一部分也进行切开，也就是得到词片段送给机器翻译系统使用。比如，对如下英文字符串，可以得到如下切分结果
\vspace{0.5em}
\parinterval Interesting \; -> \; Interest/ing selection \hspace{0.08em} -> \;se/lect/ion procession \hspace{0.43em} -> \; pro/cess/ion
\parinterval Interesting \; $\to$ \; Interest/ing selection \hspace{0.08em} $\to$ \;se/lect/ion procession \hspace{0.43em} $\to$ \; pro/cess/ion
\parinterval Interested \hspace{0.62em} -> \; Interest/ed selecting \hspace{0.34em} -> \; se/lect/ing processing \hspace{0.22em} -> \; pro/cess/ing
\parinterval Interested \hspace{0.62em} $\to$ \; Interest/ed selecting \hspace{0.34em} $\to$ \; se/lect/ing processing \hspace{0.22em} $\to$ \; pro/cess/ing
\parinterval Interests \hspace{1.17em} -> \; Interest/s selected \hspace{1.24em} -> \; se/lect/ed processed \hspace{0.82em} -> \; pro/cess/ed \\
\parinterval Interests \hspace{1.17em} $\to$ \; Interest/s selected \hspace{1.24em} $\to$ \; se/lect/ed processed \hspace{0.82em} $\to$ \; pro/cess/ed \\
\parinterval 词法分析的重要性在自然语言处理领域已经有共识。如果切分的颗粒度很大，获得的单词的歧义也很小，比如``中华人民共和国''整体作为一个单词不存在歧义，而如果单独的一个单词``国''，可能会代表``中国''、``美国''等不同的国家，存在歧义。但是随着切分颗粒度的增大，特定单词出现的频度也随之降低，低频词容易和噪音混淆，系统很难进行学习。因此，处理这些问题并开发适合翻译任务的分词系统是机器翻译的第一步。
......
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