11 公式引用风格统一

Chapter11/chapter11.tex

@@ -85,13 +85,13 @@
 \end{figure}
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-\parinterval 在卷积计算中，不同深度下卷积核不同但是执行操作相同，这里以二维卷积核为例展示具体卷积计算。若设输入矩阵为$\mathbi{x}$，输出矩阵为$\mathbi{y}$，卷积滑动步幅为$\textrm{stride}$，卷积核为$\mathbi{w}$，且$\mathbi{w} \in \mathbb{R}^{Q \times U} $，那么卷积计算过程如公式\eqref{eq:11-1}所示：
+\parinterval 在卷积计算中，不同深度下卷积核不同但是执行操作相同，这里以二维卷积核为例展示具体卷积计算。若设输入矩阵为$\mathbi{x}$，输出矩阵为$\mathbi{y}$，卷积滑动步幅为$\textrm{stride}$，卷积核为$\mathbi{w}$，且$\mathbi{w} \in \mathbb{R}^{Q \times U} $，那么卷积计算过程如下：
 \begin{eqnarray}
 \mathbi{y}_{i,j} &=& \sum \sum ( \mathbi{x}_{[j\times \textrm{stride}:j\times \textrm{stride}+U-1,i\times \textrm{stride}:i\times \textrm{stride}+Q-1]} \odot \mathbi{w} )
 \label{eq:11-1}
 \end{eqnarray}
 
-\noindent 其中$i$是输出矩阵的行下标，$j$是输出矩阵的列下标，$\odot$表示矩阵点乘，具体见{\chapternine}。图\ref{fig:11-4}展示了一个简单的卷积操作示例，其中$Q$为2，$U$为2，$\textrm{stride}$为1，根据公式\eqref{eq:11-1}，图中蓝色位置$\mathbi{y}_{0,0}$的计算如公式\eqref{eq:11-2}所示：
+\noindent 其中$i$是输出矩阵的行下标，$j$是输出矩阵的列下标，$\odot$表示矩阵点乘，具体见{\chapternine}。图\ref{fig:11-4}展示了一个简单的卷积操作示例，其中$Q$为2，$U$为2，$\textrm{stride}$为1，根据公式\eqref{eq:11-1}，图中蓝色位置$\mathbi{y}_{0,0}$的计算如下：
 \begin{eqnarray}
 \mathbi{y}_{0,0} &=& \sum \sum ( \mathbi{x}_{[0\times 1:0\times 1+2-1,0\times 1:0\times 1+2-1]} \odot \mathbi{w}) \nonumber \\
 			 &=& \sum \sum ( \mathbi{x}_{[0:1,0:1]} \odot \mathbi{w} ) \nonumber \\
@@ -311,7 +311,7 @@
 \mathbi{B} & = & \mathbi{x} * \mathbi{V} + \mathbi{b}_\mathbi{V} \label{eq:11-4}
 \end{eqnarray}
 
-\noindent 其中，$\mathbi{A},\mathbi{B}\in \mathbb{R}^d$，$\mathbi{W}\in \mathbb{R}^{K\times d \times d}$、$\mathbi{V}\in \mathbb{R}^{K\times d \times d}$、$\mathbi{b}_\mathbi{W}$，$\mathbi{b}_\mathbi{V} \in \mathbb{R}^d $，$\mathbi{W}$、$\mathbi{V}$在此表示卷积核，$\mathbi{b}_\mathbi{W}$，$\mathbi{b}_\mathbi{V}$为偏置矩阵。在卷积操作之后，引入非线性变换，具体计算如公式\eqref{eq:11-5}所示：
+\noindent 其中，$\mathbi{A},\mathbi{B}\in \mathbb{R}^d$，$\mathbi{W}\in \mathbb{R}^{K\times d \times d}$、$\mathbi{V}\in \mathbb{R}^{K\times d \times d}$、$\mathbi{b}_\mathbi{W}$，$\mathbi{b}_\mathbi{V} \in \mathbb{R}^d $，$\mathbi{W}$、$\mathbi{V}$在此表示卷积核，$\mathbi{b}_\mathbi{W}$，$\mathbi{b}_\mathbi{V}$为偏置矩阵。在卷积操作之后，引入非线性变换，具体计算如下：
 \begin{eqnarray}
 \mathbi{y} & = & \mathbi{A} \otimes \sigma ( \mathbi{B} )
 \label{eq:11-5}
@@ -338,7 +338,7 @@
 \subsection{残差网络}
 \label{sec:11.2.3}
 
-\parinterval 残差连接是一种训练深层网络的技术，其内容在{\chapternine}已经进行了介绍，即在多层神经网络之间通过增加直接连接的方式，从而将底层信息直接传递给上层。通过增加这样的直接连接，可以让不同层之间的信息传递更加高效，有利于深层神经网络的训练，其计算如公式\eqref{eq:11-6}所示：
+\parinterval 残差连接是一种训练深层网络的技术，其内容在{\chapternine}已经进行了介绍，即在多层神经网络之间通过增加直接连接的方式，从而将底层信息直接传递给上层。通过增加这样的直接连接，可以让不同层之间的信息传递更加高效，有利于深层神经网络的训练，其计算公式为：
 \begin{eqnarray}
 \mathbi{h}^{l+1} &=& F (\mathbi{h}^l) + \mathbi{h}^l
 \label{eq:11-6}
@@ -346,7 +346,7 @@
 
 \noindent 其中，$\mathbi{h}^l$表示$l$层神经网络的输入向量，${F} (\mathbi{h}^l)$是$l$层神经网络的运算。如果$l=2$，那么公式\eqref{eq:11-6}可以解释为：第3层的输入$\mathbi{h}^3$等于第2层的输出${F}(\mathbi{h}^2)$加上第2层的输入$\mathbi{h}^2$。
 
-\parinterval 在ConvS2S中残差连接主要应用于门控卷积神经网络和多跳自注意力机制中，比如在编码器的多层门控卷积神经网络中，在每一层的输入和输出之间增加残差连接，具体的数学描述如公式\eqref{eq:11-7}所示：
+\parinterval 在ConvS2S中残差连接主要应用于门控卷积神经网络和多跳自注意力机制中，比如在编码器的多层门控卷积神经网络中，在每一层的输入和输出之间增加残差连接，具体的数学描述如下：
 \begin{eqnarray}
 %\mathbi{h}_i^l = \funp{v} (\mathbi{W}^l [\mathbi{h}_{i-\frac{k}{2}}^{l-1},...,\mathbi{h}_{i+\frac{k}{2}}^{l-1}] + b_{\mathbi{W}}^l ) + \mathbi{h}_i^{l-1}
 \mathbi{h}^{l+1} &=& \mathbi{A}^{l} \otimes \sigma ( \mathbi{B}^{l} ) + \mathbi{h}^{l}
@@ -381,7 +381,7 @@
 
 \noindent 其中，$\mathbi{h}_i$表示源语言端第$i$个位置的隐层状态，即编码器在第$i$个位置的输出。$\mathbi{s}_j$表示目标端第$j$个位置的隐层状态。给定$\mathbi{s}_j$和$\mathbi{h}_i$，注意力机制通过函数$\funp{a}(\cdot)$计算目标语言表示$\mathbi{s}_j$与源语言表示$\mathbi{h}_i$之间的注意力权重$\alpha_{i,j}$，通过加权平均得到当前目标语言端位置所需的上下文表示$\mathbi{C}_j$。其中$\funp{a}(\cdot)$的具体计算方式在{\chapterten}已经详细讨论。
 
-\parinterval 在ConvS2S模型中，解码器同样采用堆叠的多层门控卷积网络来对目标语言进行序列建模。区别于编码器，解码器在每一层卷积网络之后引入了注意力机制，用来参考源语言信息。ConvS2S选用了点乘注意力，并且通过类似残差连接的方式将注意力操作的输入与输出同时作用于下一层计算，称为多跳注意力。其具体计算方式如公式\eqref{eq:11-10}所示：
+\parinterval 在ConvS2S模型中，解码器同样采用堆叠的多层门控卷积网络来对目标语言进行序列建模。区别于编码器，解码器在每一层卷积网络之后引入了注意力机制，用来参考源语言信息。ConvS2S选用了点乘注意力，并且通过类似残差连接的方式将注意力操作的输入与输出同时作用于下一层计算，称为多跳注意力。其具体计算方式如下：
 \begin{eqnarray}
 \alpha_{ij}^l &=& \frac{ \textrm{exp} (\mathbi{d}_{j}^l\mathbi{h}_i) }{\sum_{i^{'}=1}^m \textrm{exp} (\mathbi{d}_{j}^l\mathbi{h}_{i^{'}})}
 \label{eq:11-10}
@@ -393,13 +393,13 @@
 \mathbi{z}_j^l &=& \textrm{Conv}(\mathbi{s}_j^l) \label{eq:11-12}
 \end{eqnarray}
 
-\noindent 其中，$\mathbi{z}_j^l$表示第$l$层卷积网络输出中第$j$个位置的表示，$\mathbi{W}_{d}^{l}$和$\mathbi{b}_{d}^{l}$是模型可学习的参数，$\textrm{Conv}(\cdot)$表示卷积操作。在获得第$l$层的注意力权重之后，就可以得到对应的一个上下文表示$\mathbi{C}_j^l$，具体计算如公式\eqref{eq:11-13}所示：
+\noindent 其中，$\mathbi{z}_j^l$表示第$l$层卷积网络输出中第$j$个位置的表示，$\mathbi{W}_{d}^{l}$和$\mathbi{b}_{d}^{l}$是模型可学习的参数，$\textrm{Conv}(\cdot)$表示卷积操作。在获得第$l$层的注意力权重之后，就可以得到对应的一个上下文表示$\mathbi{C}_j^l$，具体计算如下：
 \begin{eqnarray}
 \mathbi{C}_j^l &=& \sum_i \alpha_{ij}^l (\mathbi{h}_i + \mathbi{e}_i)
 \label{eq:11-13}
 \end{eqnarray}
 
-\noindent 模型使用了更全面的源语言信息，同时考虑了源语言端编码表示$\mathbi{h}_i$以及词嵌入表示$\mathbi{e}_i$。在获得第$l$层的上下文向量$\mathbi{C}_j^l$后，模型将其与$\mathbi{z}_j^l$相加后送入下一层网络，这个过程可以被描述为公式\eqref{eq:11-14}：
+\noindent 模型使用了更全面的源语言信息，同时考虑了源语言端编码表示$\mathbi{h}_i$以及词嵌入表示$\mathbi{e}_i$。在获得第$l$层的上下文向量$\mathbi{C}_j^l$后，模型将其与$\mathbi{z}_j^l$相加后送入下一层网络，这个过程可以被描述为：
 \begin{eqnarray}
 \mathbi{s}_j^{l+1} &=& \mathbi{C}_j^l + \mathbi{z}_j^l
 \label{eq:11-14}
@@ -434,7 +434,7 @@
 
 \noindent 其中，$\mathbi{w}_t$表示第$t$步更新时的模型参数；$J(\mathbi{w}_t)$表示损失函数均值期望的估计；$\frac{\partial J(\mathbi{w}_t)}{\partial \mathbi{w}_t}$将指向$J(\mathbi{w}_t)$在$\mathbi{w}_t$处变化最大的方向，即梯度方向；$\alpha$ 为学习率；$\mathbi{v}_t$为损失函数在前$t-1$步更新中累积的梯度动量，利用超参数$\beta$控制累积的范围。
 
-\parinterval 而在Nesterov加速梯度下降法中，使用的梯度不是来自于当前参数位置，而是按照之前梯度方向更新一小步的位置，以便于更好地“预测未来”，提前调整更新速率，因此，其动量的更新方式如公式\eqref{eq:11-17}：
+\parinterval 而在Nesterov加速梯度下降法中，使用的梯度不是来自于当前参数位置，而是按照之前梯度方向更新一小步的位置，以便于更好地“预测未来”，提前调整更新速率，因此，其动量的更新方式如下：
 \begin{eqnarray}
 \mathbi{v}_t & = & \beta \mathbi{v}_{t-1} + (1-\beta)\frac{\partial J(\mathbi{w}_t)}{\partial (\mathbi{w}_{t} -\alpha \beta \mathbi{v}_{t-1} )}
 \label{eq:11-17}
@@ -476,7 +476,7 @@
 \parinterval 深度可分离卷积由深度卷积和逐点卷积两部分结合而成\upcite{sifre2014rigid}。图\ref{fig:11-17}对比了标准卷积、深度卷积和逐点卷积，为了方便显示，图中只画出了部分连接。
 
 \parinterval 给定输入序列表示$\seq{x} = \{ \mathbi{x}_1,\mathbi{x}_2,...,\mathbi{x}_m \}$，其中$m$为序列长度，$\mathbi{x}_i \in \mathbb{R}^{O} $ ，$O$ 即输入序列的通道数。为了获得与输入序列长度相同的卷积输出结果，首先需要进行填充。为了方便描述，这里在输入序列尾部填充 $K-1$ 个元素（$K$为卷积核窗口的长度），其对应的卷积结果为$\seq{z} = \{ \mathbi{z}_1,\mathbi{z}_2,...,\mathbi{z}_m \}$。
-在标准卷积中，若使用N表示卷积核的个数，也就是标准卷积输出序列的通道数，那么对于第$i$个位置的第$n$个通道$ \mathbi{z}_{i,n}^\textrm{\,std}$，其标准卷积具体计算如公式\eqref{eq:11-18}所示：
+在标准卷积中，若使用N表示卷积核的个数，也就是标准卷积输出序列的通道数，那么对于第$i$个位置的第$n$个通道$ \mathbi{z}_{i,n}^\textrm{\,std}$，其标准卷积具体计算如下：
 \begin{eqnarray}
 \mathbi{z}_{i,n}^\textrm{\,std} &=& \sum_{o=1}^{O} \sum_{k=0}^{K-1} \mathbi{W}_{k,o,n}^\textrm{\,std} \mathbi{x}_{i+k,o}
 \label{eq:11-18}
@@ -486,7 +486,7 @@
 
 \noindent 其中，$ \mathbi{z}^\textrm{\,std}$表示标准卷积的输出，$ \mathbi{z}_i^\textrm{\,std} \in \mathbb{R}^N$， $\mathbi{W}^\textrm{\,std} \in \mathbb{R}^{K \times O \times N} $ 为标准卷积的参数。可以看出，标准卷积中每个输出元素需要考虑卷积核尺度内所有词的所有特征，参数量相对较多，对应图\ref{fig:11-17}中的连接数也最多。
 
-\parinterval 相应的，深度卷积只考虑不同词之间的依赖性，而不考虑不同通道之间的关系，相当于使用$O$个卷积核逐个通道对不同的词进行卷积操作。因此深度卷积不改变输出的表示维度，输出序列表示的通道数与输入序列一致，其计算如公式\eqref{eq:11-19}所示：
+\parinterval 相应的，深度卷积只考虑不同词之间的依赖性，而不考虑不同通道之间的关系，相当于使用$O$个卷积核逐个通道对不同的词进行卷积操作。因此深度卷积不改变输出的表示维度，输出序列表示的通道数与输入序列一致，其计算如下：
 \begin{eqnarray}
 \mathbi{z}_{i,o}^\textrm{\,dw} &=& \sum_{k=0}^{K-1} \mathbi{W}_{k,o}^\textrm{\,dw} \mathbi{x}_{i+k,o}
 \label{eq:11-19}
@@ -494,7 +494,7 @@
 
 \noindent 其中，$\mathbi{z}^\textrm{\,dw}$表示深度卷积的输出，$\mathbi{z}_i^\textrm{\,dw} \in \mathbb{R}^{O}$ ，$\mathbi{W}^\textrm{\,dw} \in \mathbb{R}^{K \times O}$为深度卷积的参数，参数量只涉及卷积核大小及输入表示维度。
 
-\parinterval 与深度卷积互为补充的是，逐点卷积只考虑不同通道之间的依赖性，而不考虑不同词之间的依赖。换句话说，逐点卷积对每个词表示做了一次线性变换，将输入表示$\mathbi{x}_i$从 $\mathbb{R}^{O}$ 的空间映射到 $\mathbb{R}^{N}$的空间，其具体计算如公式\eqref{eq:11-20}所示：
+\parinterval 与深度卷积互为补充的是，逐点卷积只考虑不同通道之间的依赖性，而不考虑不同词之间的依赖。换句话说，逐点卷积对每个词表示做了一次线性变换，将输入表示$\mathbi{x}_i$从 $\mathbb{R}^{O}$ 的空间映射到 $\mathbb{R}^{N}$的空间，其具体计算如下：
 \begin{eqnarray}
 \mathbi{z}_{i,n}^\textrm{\,pw} &=& \sum\limits_{o=1}^{O} \mathbi{x}_{i,o} \mathbi{W}_{o,n}^\textrm{\,pw} \nonumber \\
                       &=& \mathbi{x}_i \mathbi{W}^\textrm{\,pw}
@@ -547,7 +547,7 @@
 \end{figure}
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-\parinterval 此外，和标准卷积不同的是，轻量卷积之前需要先对卷积参数进行归一化，具体计算过程如公式\eqref{eq:11-21}所示：
+\parinterval 此外，和标准卷积不同的是，轻量卷积之前需要先对卷积参数进行归一化，具体计算过程为：
 \begin{eqnarray}
 \mathbi{z}_{i,o}^\textrm{\,lw} &=& \sum_{k=0}^{K-1} \textrm{Softmax}(\mathbi{W}^\textrm{\,lw})_{k,[\frac{oa}{d}]} \mathbi{x}_{i+k,o}
 \label{eq:11-21}
@@ -562,7 +562,7 @@
 
 \parinterval 轻量卷积和动态卷积的概念最早都是在图像领域被提出，大大减少了卷积神经网络模型中的参数和计算量\upcite{726791,Taigman2014DeepFaceCT,Chen2015LocallyconnectedAC}。虽然轻量卷积在存储和速度上具有优势，但其参数量的减少也导致了表示能力的下降，损失了一部分模型性能。为此，研究人员提出了动态卷积，旨在不增加网络深度和宽度的情况下来增强模型的表示能力，其思想就是根据输入来动态地生成卷积参数\upcite{Wu2019PayLA,Chen2020DynamicCA}。
 
-\parinterval 在轻量卷积中，模型使用的卷积参数是静态的，与序列位置无关， 维度大小为$K\times a$；而在动态卷积中，为了增强模型的表示能力，卷积参数来自于当前位置输入的变换，具体如公式\eqref{eq:11-22}：
+\parinterval 在轻量卷积中，模型使用的卷积参数是静态的，与序列位置无关， 维度大小为$K\times a$；而在动态卷积中，为了增强模型的表示能力，卷积参数来自于当前位置输入的变换，具体计算为：
 \begin{eqnarray}
 \funp{f} (\mathbi{x}_{i}) &=& \sum_{c=1}^d \mathbi{W}_{:,:,c} \odot \mathbi{x}_{i,c}
 \label{eq:11-22}