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Commit 2a570810 by 孟霞
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Chapter4/chapter4.tex
......@@ -137,27 +137,24 @@
\parinterval 除了对译文进行简单的打分，另一种经典的人工评价方法是{\small\sffamily\bfseries{相对排序}}\index{相对排序}（Relative Ranking，RR）\index{Relative Ranking}\upcite{DBLP:conf/wmt/Callison-BurchF07}。这种方法通过对不同机器翻译的译文质量进行相对排序得到最终的评价结果。举例来说：
\parinterval （1）在每次评价过程中，若干个等待评价的机器翻译系统被分为5个一组，评价者被提供3个连续的源文片段和1组机器翻译系统的相应译文；
\parinterval （2）评价者需要对本组的机器译文根据其质量进行排序，不过评价者并不需要一次性将5个译文排序，而是将其两两进行比较，判出胜负或是平局。在评价过程中，由于排序是两两一组进行的，为了评价的公平性，将采用排列组合的方式进行分组和比较，若共有$n$个机器翻译系统，则会为被分为 $\textrm{C}_n^5$组，组内每个系统都将与其他4个系统进行比较，由于需要针对3个源文片段进行评价对比，则意味着每个系统都需要被比较$\textrm{C}_n^5 \times 4 \times 3$次；
\parinterval （3）最终根据多次比较的结果，对所有参与评价的系统进行总体排名。对于如何获取合理的总体排序，有三种常见的策略：
\begin{itemize}
\vspace{0.5em}
\item {\small\sffamily\bfseries{根据系统胜出的次数进行排序}}\upcite{DBLP:conf/wmt/Callison-BurchK12}。以系统${S}_j$和系统${S}_k$为例，两个系统都被比较了$\textrm{C}_n^5 \times 4 \times 3$ 次，其中系统${S}_j$获胜20次，系统${S}_k$获胜30次，总体排名中系统${S}_k$优于系统${S}_j$。
\item 在每次评价过程中，若干个等待评价的机器翻译系统被分为5个一组，评价者被提供3个连续的源文片段和1组机器翻译系统的相应译文；
\vspace{0.5em}
\item {\small\sffamily\bfseries{根据冲突次数进行排序}}\upcite{DBLP:conf/wmt/Lopez12}。第一种排序策略中存在冲突现象：例如在每次两两比较中，系统${S}_j$胜过系统${S}_k$ 的次数比系统${S}_j$不敌系统${S}_k$的次数多，若待评价系统仅有系统${S}_j$、${S}_k$，显然系统${S}_j$的排名高于系统${S}_k$。但当待评价系统很多时，可能系统${S}_j$在所有比较中获胜的次数低于系统${S}_k$，此时就出现了总体排序与局部排序不一致的冲突。因此，有研究者提出，能够与局部排序冲突最少的总体排序才是最合理的。令$O$表示一个对若干个系统的排序，该排序所对应的冲突定义为：
\item 评价者需要对本组的机器译文根据其质量进行排序，不过评价者并不需要一次性将5个译文排序，而是将其两两进行比较，判出胜负或是平局。在评价过程中，由于排序是两两一组进行的，为了评价的公平性，将采用排列组合的方式进行分组和比较，若共有$n$个机器翻译系统，则会为被分为 $\textrm{C}_n^5$组，组内每个系统都将与其他4个系统进行比较，由于需要针对3个源文片段进行评价对比，则意味着每个系统都需要被比较$\textrm{C}_n^5 \times 4 \times 3$次；
\vspace{0.5em}
\item 最终根据多次比较的结果，对所有参与评价的系统进行总体排名。对于如何获取合理的总体排序，有三种常见的策略：
\begin{itemize}
\item {\small\sffamily\bfseries{根据系统胜出的次数进行排序}}\upcite{DBLP:conf/wmt/Callison-BurchK12}。以系统${S}_j$和系统${S}_k$为例，两个系统都被比较了$\textrm{C}_n^5 \times 4 \times 3$ 次，其中系统${S}_j$获胜20次，系统${S}_k$获胜30次，总体排名中系统${S}_k$优于系统${S}_j$。
\item {\small\sffamily\bfseries{根据冲突次数进行排序}}\upcite{DBLP:conf/wmt/Lopez12}。第一种排序策略中存在冲突现象：例如在每次两两比较中，系统${S}_j$胜过系统${S}_k$ 的次数比系统${S}_j$不敌系统${S}_k$的次数多，若待评价系统仅有系统${S}_j$、${S}_k$，显然系统${S}_j$的排名高于系统${S}_k$。但当待评价系统很多时，可能系统${S}_j$在所有比较中获胜的次数低于系统${S}_k$，此时就出现了总体排序与局部排序不一致的冲突。因此，有研究者提出，能够与局部排序冲突最少的总体排序才是最合理的。令$O$表示一个对若干个系统的排序，该排序所对应的冲突定义为：
\begin{eqnarray}
\textrm{conflict}(O) &=& \sum\limits_{{{S}_j} \in O,{{S}_k} \in O,j \ne k} {{\textrm{max}}(0,\textrm{count}_{\textrm{win}}({{S}_j},{{S}_k}) - \textrm{count}_{\textrm{loss}}({{S}_j},{{S}_k}))}
\label{eq:4-1}
\end{eqnarray}
其中，${S}_j$和${S}_k$是成对比较的两个系统，$\textrm{count}_{\textrm{win}}({S}_j,{S}_k)$和$\textrm{count}_{\textrm{loss}}({S}_j,{S}_k)$分别是${S}_j$、${S}_k$进行成对比较时系统${S}_j$ 胜利和失败的次数。而使得$\textrm{conflict}(O)$最低的$O$就是最终的系统排序结果。
\vspace{0.5em}
\item {\small\sffamily\bfseries{根据某系统最终获胜的期望进行排序}}\upcite{DBLP:conf/iwslt/Koehn12}。以系统${S}_j$为例，若共有$n$个待评价的系统，则进行总体排序时系统 ${S}_j$ 的得分为其最终获胜的期望，即：
其中，${S}_j$和${S}_k$是成对比较的两个系统，$\textrm{count}_{\textrm{win}}({S}_j,{S}_k)$和$\textrm{count}_{\textrm{loss}}({S}_j,{S}_k)$分别是${S}_j$、${S}_k$进行成对比较时系统${S}_j$ 胜利和失败的次数。而使得$\textrm{conflict}(O)$最低的$O$就是最终的系统排序结果。
\item {\small\sffamily\bfseries{根据某系统最终获胜的期望进行排序}}\upcite{DBLP:conf/iwslt/Koehn12}。以系统${S}_j$为例，若共有$n$个待评价的系统，则进行总体排序时系统 ${S}_j$ 的得分为其最终获胜的期望，即：
\begin{eqnarray}
\textrm{score}({{S}_j}) &=& \frac{1}{n}\sum\limits_{k,k \ne j} {\frac{\textrm{count}_{\textrm{win}}({{S}_j},{{S}_k})}{{\textrm{count}_{\textrm{win}}({{S}_j},{{S}_k}) + \textrm{count}_{\textrm{loss}}({{S}_j},{{S}_k})}}}
......@@ -165,7 +162,7 @@
\end{eqnarray}
根据公式\eqref{eq:4-2}可以看出，该策略去除了平局的影响。
\end{itemize}
\vspace{0.5em}
\end{itemize}
......@@ -291,11 +288,11 @@
\parinterval 在Meteor方法中，首先在机器译文与参考答案之间建立单词之间的对应关系，再根据其对应关系计算准确率和召回率。
\parinterval （1）单词之间的对应关系在建立过程中主要涉及三个模型，在对齐过程中依次使用这三个模型进行匹配：
\begin{itemize}
\vspace{0.5em}
\item {\small\sffamily\bfseries{“绝对”匹配模型}}\index{“绝对”匹配模型}（Exact Model）\index{Exact Model}。绝对匹配模型在建立单词对应关系时，要求机器译文端的单词与参考答案端的单词完全一致，并且在参考答案端至多有1个单词与机器译文端的单词对应，否则会将其视为多种对应情况。对于实例\ref{eg:4-2}，使用“绝对”匹配模型，共有两种匹配结果，如图\ref{fig:4-3}所示。
\item 在机器译文与参考答案之间建立单词之间的对应关系。单词之间的对应关系在建立过程中主要涉及三个模型，在对齐过程中依次使用这三个模型进行匹配：
\begin{itemize}
\item {\small\sffamily\bfseries{“绝对”匹配模型}}\index{“绝对”匹配模型}（Exact Model）\index{Exact Model}。绝对匹配模型在建立单词对应关系时，要求机器译文端的单词与参考答案端的单词完全一致，并且在参考答案端至多有1个单词与机器译文端的单词对应，否则会将其视为多种对应情况。对于实例\ref{eg:4-2}，使用“绝对”匹配模型，共有两种匹配结果，如图\ref{fig:4-3}所示。
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\begin{figure}[htp]
......@@ -306,9 +303,7 @@
\label{fig:4-3}
\end{figure}
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\vspace{0.5em}
\item {\small\sffamily\bfseries{“波特词干”匹配模型}}\index{“波特词干”匹配模型}（Porter Stem Model）\index{Porter Stem Model}。该模型在“绝对”匹配结果的基础上，对尚未对齐的单词进行基于词干的匹配，只需机器译文端单词与参考答案端单词的词干相同即可，如上文中的“do”和“did”。对于图\ref{fig:4-3}中显示的词对齐结果，再使用“波特词干” 匹配模型，得到如图\ref{fig:4-4}所示的结果。
\item {\small\sffamily\bfseries{“波特词干”匹配模型}}\index{“波特词干”匹配模型}（Porter Stem Model）\index{Porter Stem Model}。该模型在“绝对”匹配结果的基础上，对尚未对齐的单词进行基于词干的匹配，只需机器译文端单词与参考答案端单词的词干相同即可，如上文中的“do”和“did”。对于图\ref{fig:4-3}中显示的词对齐结果，再使用“波特词干” 匹配模型，得到如图\ref{fig:4-4}所示的结果。
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\begin{figure}[htp]
......@@ -318,9 +313,7 @@
\label{fig:4-4}
\end{figure}
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\vspace{0.5em}
\item {\small\sffamily\bfseries{“同义词”匹配模型}}\index{“同义词”匹配模型}（WN Synonymy Model）\index{WN Synonymy Model}。该模型在前两个模型匹配结果的基础上，对尚未对齐的单词进行同义词的匹配，即基于WordNet词典匹配机器译文与参考答案中的同义词。如实例\ref{eg:4-2}中的“eat”和“have”。图\ref{fig:4-5}给出了一个真实的例子。
\item {\small\sffamily\bfseries{“同义词”匹配模型}}\index{“同义词”匹配模型}（WN Synonymy Model）\index{WN Synonymy Model}。该模型在前两个模型匹配结果的基础上，对尚未对齐的单词进行同义词的匹配，即基于WordNet词典匹配机器译文与参考答案中的同义词。如实例\ref{eg:4-2}中的“eat”和“have”。图\ref{fig:4-5}给出了一个真实的例子。
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\begin{figure}[htp]
......@@ -330,11 +323,8 @@
\label{fig:4-5}
\end{figure}
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\vspace{0.5em}
\end{itemize}
\parinterval 经过上面的处理，可以得到机器译文与参考答案之间的单词对齐关系。下一步需要从中确定一个拥有最大的子集的对齐关系，即机器译文中被对齐的单词个数最多的对齐关系。但是在上例中的两种对齐关系子集基数相同，这种情况下，需要选择一个对齐关系中交叉现象出现最少的对齐关系。于是，最终的对齐关系如图\ref{fig:4-6}所示。
\end{itemize}
经过上面的处理，可以得到机器译文与参考答案之间的单词对齐关系。下一步需要从中确定一个拥有最大的子集的对齐关系，即机器译文中被对齐的单词个数最多的对齐关系。但是在上例中的两种对齐关系子集基数相同，这种情况下，需要选择一个对齐关系中交叉现象出现最少的对齐关系。于是，最终的对齐关系如图\ref{fig:4-6}所示。
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\begin{figure}[htp]
......@@ -344,26 +334,29 @@
\label{fig:4-6}
\end{figure}
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\vspace{0.5em}
\item 在得到机器译文与参考答案的对齐关系后，需要基于对齐关系计算准确率和召回率。
\parinterval （2）在得到机器译文与参考答案的对齐关系后，需要基于对齐关系计算准确率和召回率。
\parinterval 准确率：机器译文中命中单词数与机器译文单词总数的比值。即：
准确率：机器译文中命中单词数与机器译文单词总数的比值。即：
\begin{eqnarray}
\funp{P} &=& \frac {\textrm{count}_{\textrm{hit}}}{\textrm{count}_{\textrm{candidate}}}
\label{eq:4-8}
\end{eqnarray}
\parinterval 召回率：机器译文中命中单词数与参考答案单词总数的比值。即：
召回率：机器译文中命中单词数与参考答案单词总数的比值。即：
\begin{eqnarray}
\funp{R} &=& \frac {\textrm{count}_{\textrm{hit}}}{\textrm{count}_{\textrm{reference}}}
\label{eq:4-9}
\end{eqnarray}
\parinterval 接下来，计算机器译文的得分。利用{\small\sffamily\bfseries{调和均值}}\index{调和均值}（Harmonic-mean）\index{Harmonic-mean}将准确率和召回率结合起来，并加大召回率的重要性将其权重调大，例如将召回率的权重设置为9：
\vspace{0.5em}
\item 最后，计算机器译文的得分。利用{\small\sffamily\bfseries{调和均值}}\index{调和均值}（Harmonic-mean）\index{Harmonic-mean}将准确率和召回率结合起来，并加大召回率的重要性将其权重调大，例如将召回率的权重设置为9：
\begin{eqnarray}
{F_{\textrm mean}} &=& \frac {10\funp{PR}}{\funp{R+9P}}
\label{eq:4-10}
\end{eqnarray}
\vspace{0.5em}
\end{itemize}
\parinterval 在上文提到的评价指标中，无论是准确率、召回率还是$\textrm F_{mean}$，都是基于单个词汇信息衡量译文质量，而忽略了语序问题。为了将语序问题考虑进来，Meteor会考虑更长的匹配：将机器译文按照最长匹配长度分块，并对“块数”较多的机器译文给予惩罚。例如图\ref{fig:4-6}显示的最终词对齐结果中，机器译文被分为了三个“块”——“Can I have it”、“like he”、“？”在这种情况下，看起来上例中的准确率、召回率都还不错，但最终会受到很严重的惩罚。这种罚分机制能够识别出机器译文中的词序问题，因为当待测译文词序与参考答案相差较大时，机器译文将会被分割得比较零散，这种惩罚机制的计算公式如式\eqref{eq:4-11}，其中$\textrm {count}_{\textrm{chunks}}$表示匹配的块数。
\begin{eqnarray}
......
Chapter9/chapter9.tex
......@@ -69,13 +69,13 @@
\parinterval 虽然第一代神经网络受到了打击，但是在20世纪80年代，第二代人工神经网络开始萌发新的生机。在这个发展阶段，生物属性已经不再是神经网络的唯一灵感来源，在{\small\bfnew{连接主义}}\index{连接主义}（Connectionism）\index{Connectionism}和分布式表示两种思潮的影响下，神经网络方法再次走入了人们的视线。
\vspace{0.3em}
\parinterval （1）符号主义与连接主义
\parinterval 1）符号主义与连接主义
\vspace{0.3em}
\parinterval 人工智能领域始终存在着符号主义和连接主义之争。早期的人工智能研究在认知学中被称为{\small\bfnew{符号主义}}\index{符号主义}（Symbolicism）\index{Symbolicism}，符号主义认为人工智能源于数理逻辑，希望将世界万物的所有运转方式归纳成像文法一样符合逻辑规律的推导过程。符号主义的支持者们坚信基于物理符号系统（即符号操作系统）假设和有限合理性原理，就能通过逻辑推理来模拟智能。但被他们忽略的一点是，模拟智能的推理过程需要大量的先验知识支持，哪怕是在现代，生物学界也很难准确解释大脑中神经元的工作原理，因此也很难用符号系统刻画人脑逻辑。另一方面，连接主义则侧重于利用人工神经网络中神经元的连接去探索并模拟输入与输出之间存在的某种关系，这个过程不需要任何先验知识，其核心思想是“大量简单的计算单元连接到一起可以实现智能行为”，这种思想也推动了反向传播等多种神经网络方法的应用，并发展了包括长短时记忆模型在内的经典建模方法。2019年3月27日，ACM 正式宣布将图灵奖授予 Yoshua Bengio, Geoffrey Hinton 和 Yann LeCun，以表彰他们提出的概念和工作使得深度学习神经网络有了重大突破，这三位获奖人均是人工智能连接主义学派的主要代表，从这件事中也可以看出连接主义对当代人工智能和深度学习的巨大影响。
\vspace{0.3em}
\parinterval （2）分布式表示
\parinterval 2）分布式表示
\vspace{0.3em}
\parinterval 分布式表示的主要思想是“一个复杂系统的任何部分的输入都应该是多个特征共同表示的结果”，这种思想在自然语言处理领域的影响尤其深刻，它改变了刻画语言世界的角度，将语言文字从离散空间映射到多维连续空间。例如，在现实世界中，“张三”这个代号就代表着一个人。如果想要知道这个人亲属都有谁，因为有“如果A和B姓氏相同且在同一个家谱中，那么A和B是本家”这个先验知识在，在知道代号“张三”的情况下，可以得知“张三”的亲属是谁。但是如果不依靠这个先验知识，就无法得知“张三”的亲属是谁。但在分布式表示中，可以用一个实数向量，如$ (0.1,0.3,0.4) $来表示“张三”这个人，这个人的所有特征信息都包含在这个实数向量中，通过在向量空间中的一些操作（如计算距离等），哪怕没有任何先验知识的存在，也完全可以找到这个人的所有亲属。在自然语言处理中，一个单词也用一个实数向量（词向量或词嵌入）表示，通过这种方式将语义空间重新刻画，将这个离散空间转化成了一个连续空间，这时单词就不再是一个简单的词条，而是由成百上千个特征共同描述出来的，其中每个特征分别代表这个词的某个“ 方面”。
......@@ -516,7 +516,7 @@ l_p({\mathbi{x}}) & = & {\Vert{\mathbi{x}}\Vert}_p \nonumber \\
\vspace{0.5em}
\parinterval 感知机是人工神经元的一种实例，在上世纪50-60年代被提出后，对神经网络研究产生了深远的影响。感知机模型如图\ref {fig:9-5}所示，其输入是一个$n$维二值向量$ {\mathbi{x}}=(x_1,x_2,\dots,x_n) $，其中$ x_i=0 $或$ 1 $。权重${\mathbi{w}}=(w_1,w_2,\dots,w_n) $，每个输入变量对应一个权重$ w_i $。偏置$ b $是一个实数变量（$ -\sigma $）。输出也是一个二值结果，即$ y=0 $或$ 1 $。$ y $值的判定由输入的加权和是否大于（或小于）一个阈值$ \sigma $决定（公式\eqref{eq:9-19}）：
\begin{eqnarray}
y=\begin{cases} 0 & \sum_{i}{x_i\cdot w_i}-\sigma <0\\1 & \sum_{i}{x_i\cdot w_i}-\sigma \geqslant 0\end{cases}
y&=&\begin{cases} 0 & \sum_{i}{x_i\cdot w_i}-\sigma <0\\1 & \sum_{i}{x_i\cdot w_i}-\sigma \geqslant 0\end{cases}
\label{eq:9-19}
\end{eqnarray}
......@@ -675,7 +675,7 @@ x_1\cdot w_1+x_2\cdot w_2+x_3\cdot w_3 & = & 0\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 1 \nonumbe
\parinterval 举个简单的例子，预报天气时，往往需要预测温度、湿度和风力，这就意味着如果使用单层神经网络进行预测，需要设置3个神经元。如图\ref{fig:9-10}所示，此时权重矩阵如公式\eqref{eq:9-105}所示：
\begin{eqnarray}
{\mathbi{W}}=\begin{pmatrix} w_{11} & w_{12} & w_{13}\\ w_{21} & w_{22} & w_{23}\end{pmatrix}
{\mathbi{W}}&=&\begin{pmatrix} w_{11} & w_{12} & w_{13}\\ w_{21} & w_{22} & w_{23}\end{pmatrix}
\label{eq:9-105}
\end{eqnarray}
......@@ -710,7 +710,7 @@ x_1\cdot w_1+x_2\cdot w_2+x_3\cdot w_3 & = & 0\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 1 \nonumbe
\item 从几何角度看，公式中的${\mathbi{x}}\cdot {\mathbi{W}}+{\mathbi{b}}$将${\mathbi{x}}$右乘${\mathbi{W}}$相当于对$ {\mathbi{x}} $进行旋转变换。例如，对三个点$ (0,0) $，$ (0,1) $，$ (1,0) $及其围成的矩形区域右乘公式\eqref{eq:9-106}所示矩阵：
\begin{eqnarray}
{\mathbi{W}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
{\mathbi{W}}&=&\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\label{eq:9-106}
\end{eqnarray}
......@@ -945,7 +945,7 @@ x_1\cdot w_1+x_2\cdot w_2+x_3\cdot w_3 & = & 0\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 1 \nonumbe
\parinterval 将矩阵乘法扩展到高阶张量中：一个张量${\mathbi{x}}$若要与矩阵$ {\mathbi{W}}$做矩阵乘法，则$ {\mathbi{x}} $的最后一维度需要与${\mathbi{W}}$的行数大小相等，即：若张量${\mathbi{x}} $的形状为$ \cdot \times n $，${\mathbi{W}} $须为$ n\times \cdot $的矩阵。公式\eqref{eq:9-25}是一个例子:
\begin{eqnarray}
{\mathbi{x}}(1:4,1:4,{\red{1:4}})\times {{\mathbi{W}}({\red{1:4}},1:2)}={\mathbi{s}}(1:4,1:4,1:2)
{\mathbi{x}}(1:4,1:4,{\red{1:4}})\;\;\times\;\; {{\mathbi{W}}({\red{1:4}},1:2)}&=&{\mathbi{s}}(1:4,1:4,1:2)
\label{eq:9-25}
\end{eqnarray}
......@@ -984,7 +984,7 @@ x_1\cdot w_1+x_2\cdot w_2+x_3\cdot w_3 & = & 0\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 1 \nonumbe
\vspace{0.5em}
\item 除了单位加之外，张量之间也可以使用减法操作、乘法操作。此外也可以对张量作激活操作，这里将其称作为函数的{\small\bfnew{向量化}}\index{向量化}（Vectorization）\index{Vectorization}。例如，对向量（1阶张量）作ReLU激活，公式\eqref{eq:9-26}为ReLU激活函数：
\begin{eqnarray}
f(x)=\begin{cases} 0 & x\le 0 \\x & x>0\end{cases}
f(x)&=&\begin{cases} 0 & x\le 0 \\x & x>0\end{cases}
\label{eq:9-26}
\end{eqnarray}
\vspace{-0.5em}
......@@ -1215,7 +1215,7 @@ y&=&{\textrm{Sigmoid}}({\textrm{Tanh}}({\mathbi{x}}\cdot {\mathbi{W}}^{[1]}+{\ma
%----------------------------------------------------------------------------------------
\vspace{0.5em}
\noindent {\small\sffamily\bfseries{（1）批量梯度下降\index{批量梯度下降}（Batch Gradient Descent）\index{Batch Gradient Descent}}}
\noindent {\small\sffamily\bfseries{1）批量梯度下降\index{批量梯度下降}（Batch Gradient Descent）\index{Batch Gradient Descent}}}
\vspace{0.5em}
\parinterval 批量梯度下降是梯度下降方法中最原始的形式，这种梯度下降方法在每一次迭代时使用所有的样本进行参数更新。参数优化的目标函数如公式\eqref{eq:9-30}所示：
......@@ -1233,7 +1233,7 @@ J({\bm \theta})&=&\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{L({\mathbi{x}}_i,\widetilde{\mathbi{
%----------------------------------------------------------------------------------------
\vspace{0.5em}
\noindent {\small\sffamily\bfseries{（2）随机梯度下降\index{随机梯度下降}（Stochastic Gradient Descent）\index{Stochastic Gradient Descent}}}
\noindent {\small\sffamily\bfseries{2）随机梯度下降\index{随机梯度下降}（Stochastic Gradient Descent）\index{Stochastic Gradient Descent}}}
\vspace{0.5em}
\parinterval 随机梯度下降（简称SGD）不同于批量梯度下降，每次迭代只使用一个样本对参数进行更新。SGD的目标函数如公式\eqref{eq:9-31}所示
......@@ -1251,7 +1251,7 @@ J({\bm \theta})&=&L({\mathbi{x}}_i,\widetilde{\mathbi{y}}_i;{\bm \theta})
%----------------------------------------------------------------------------------------
\vspace{0.5em}
\noindent {\small\sffamily\bfseries{（3）小批量梯度下降\index{小批量梯度下降}（Mini-batch Gradient Descent）\index{Mini-batch Gradient Descent}}}
\noindent {\small\sffamily\bfseries{3）小批量梯度下降\index{小批量梯度下降}（Mini-batch Gradient Descent）\index{Mini-batch Gradient Descent}}}
\vspace{0.5em}
\parinterval 为了综合批量梯度下降和随机梯度下降的优缺点，在实际应用中一般采用这两个算法的折中\ \dash \ 小批量梯度下降。其思想是：每次迭代计算一小部分训练数据的损失函数，并对参数进行更新。这一小部分数据被称为一个批次（mini-batch或者batch）。小批量梯度下降的参数优化的目标函数如公式\eqref{eq:9-32}所示：
......@@ -1275,7 +1275,7 @@ J({\bm \theta})&=&\frac{1}{m}\sum_{i=j}^{j+m-1}{L({\mathbi{x}}_i,\widetilde{\mat
%----------------------------------------------------------------------------------------
\vspace{0.5em}
\noindent {\small\sffamily\bfseries{（1）数值微分\index{数值微分}（Numerical Differentiation）\index{Numerical Differentiation}}}
\noindent {\small\sffamily\bfseries{1）数值微分\index{数值微分}（Numerical Differentiation）\index{Numerical Differentiation}}}
\vspace{0.5em}
\parinterval 数学上，梯度的求解其实就是求函数偏导的问题。导数是用极限来定义的，如公式\eqref{eq:9-33}所示：
......@@ -1298,7 +1298,7 @@ J({\bm \theta})&=&\frac{1}{m}\sum_{i=j}^{j+m-1}{L({\mathbi{x}}_i,\widetilde{\mat
%
%----------------------------------------------------------------------------------------
\noindent {\small\sffamily\bfseries{（2）符号微分\index{符号微分}（Symbolic Differentiation）\index{Symbolic Differentiation}}}
\noindent {\small\sffamily\bfseries{2）符号微分\index{符号微分}（Symbolic Differentiation）\index{Symbolic Differentiation}}}
\vspace{0.5em}
\parinterval 顾名思义，符号微分就是通过建立符号表达式求解微分的方法：借助符号表达式和求导公式，推导出目标函数关于自变量的微分表达式，最后再带入具体数值得到微分结果。例如，对于表达式$ L({\bm \theta})={\mathbi{x}}\cdot {\bm \theta}+2{\bm \theta}^2 $，可以手动推导出微分表达式$ \frac{\partial L({\bm \theta})}{\partial {\bm \theta}}=\mathbi{x}+4{\bm \theta} $，最后将具体数值$ \mathbi{x} = {(\begin{array}{cc} 2 & -3\end{array})} $和$ {\bm \theta} = {(\begin{array}{cc} -1 & 1\end{array})} $带入后，得到微分结果$\frac{\partial L({\bm \theta})}{\partial {\bm \theta}}= {(\begin{array}{cc} 2 & -3\end{array})}+4{(\begin{array}{cc} -1 & 1\end{array})}= {(\begin{array}{cc} -2 & 1\end{array})}$。
......@@ -1334,7 +1334,7 @@ $+2x^2+x+1)$ & \ \ $(x^4+2x^3+2x^2+x+1)$ & $+6x+1$ \\
%----------------------------------------------------------------------------------------
\vspace{0.5em}
\noindent {\small\sffamily\bfseries{（3）自动微分\index{自动微分}（Automatic Differentiation）\index{Automatic Differentiation}}}
\noindent {\small\sffamily\bfseries{3）自动微分\index{自动微分}（Automatic Differentiation）\index{Automatic Differentiation}}}
\vspace{0.5em}
\parinterval 自动微分是一种介于数值微分和符号微分的方法：将符号微分应用于最基本的算子，如常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，然后代入数值，保留中间结果，最后再应用于整个函数。通过这种方式，将复杂的微分变成了简单的步骤，这些步骤完全自动化，而且容易进行存储和计算。
......@@ -1344,7 +1344,7 @@ $+2x^2+x+1)$ & \ \ $(x^4+2x^3+2x^2+x+1)$ & $+6x+1$ \\
\parinterval 自动微分可以用一种{\small\sffamily\bfseries{反向模式}}\index{反向模式}（Reverse Mode\index{Reverse Mode}/Backward Mode\index{Backward Mode}）即反向传播思想进行描述\upcite{baydin2017automatic}。令${\mathbi{h}}_i$是神经网络的计算图中第$i$个节点的输出。反向模式的自动微分是要计算：
\begin{eqnarray}
\bar{{\mathbi{h}}_i} = \frac{\partial L}{\partial {\mathbi{h}}_i} \label{eq:reverse-mode-v}
\bar{{\mathbi{h}}_i} &=& \frac{\partial L}{\partial {\mathbi{h}}_i} \label{eq:reverse-mode-v}
\end{eqnarray}
\noindent 这里，$\bar{{\mathbi{h}}_i}$表示损失函数$L$相对于${\mathbi{h}}_i$的梯度信息，它会被保存在节点$i$处。为了计算$\bar{{\mathbi{h}}_i}$，需要从网络的输出反向计算每一个节点处的梯度。具体实现时，这个过程由一个包括前向计算和反向计算的两阶段方法实现。
......@@ -1404,7 +1404,7 @@ $+2x^2+x+1)$ & \ \ $(x^4+2x^3+2x^2+x+1)$ & $+6x+1$ \\
%----------------------------------------------------------------------------------------
\vspace{0.5em}
\noindent {\small\sffamily\bfseries{（1）Momentum \index{Momentum}}}
\noindent {\small\sffamily\bfseries{1）Momentum \index{Momentum}}}
\vspace{0.5em}
\parinterval Momentum梯度下降算法的参数更新方式如公式\eqref{eq:9-34}和\eqref{eq:9-35}所示\footnote{在梯度下降算法的几种改进方法的公式中，其更新对象是某个具体参数而非参数矩阵，因此不再使用加粗样式。}：
......@@ -1434,7 +1434,7 @@ v_t&=&\beta v_{t-1}+(1-\beta)\frac{\partial J}{\partial \theta_t}
%----------------------------------------------------------------------------------------
\vspace{0.5em}
\noindent {\small\sffamily\bfseries{（2）AdaGrad \index{AdaGrad}}}
\noindent {\small\sffamily\bfseries{2）AdaGrad \index{AdaGrad}}}
\vspace{0.5em}
\parinterval 在神经网络的学习中，学习率的设置很重要。学习率过小， 会导致学习花费过多时间；反过来，学习率过大，则会导致学习发散，甚至造成模型的“跑偏”。在深度学习实现过程中，有一种被称为学习率{\small\bfnew{衰减}}\index{衰减}（Decay）\index{Decay}的方法，即最初设置较大的学习率，随着学习的进行，使学习率逐渐减小，这种方法相当于将“全体”参数的学习率值一起降低。AdaGrad梯度下降算法进一步发展了这个思想\upcite{duchi2011adaptive}。
......@@ -1454,7 +1454,7 @@ z_t&=&z_{t-1}+\frac{\partial J}{\partial {\theta}_t} \cdot \frac{\partial J}{\pa
%----------------------------------------------------------------------------------------
\vspace{0.5em}
\noindent {\small\sffamily\bfseries{（3）RMSProp \index{RMSProp}}}
\noindent {\small\sffamily\bfseries{3）RMSProp \index{RMSProp}}}
\vspace{0.5em}
\parinterval RMSProp算法是一种自适应学习率的方法\upcite{tieleman2012rmsprop}，它是对AdaGrad算法的一种改进，可以避免AdaGrad算法中学习率不断单调下降以至于过早衰减的缺点。
......@@ -1476,7 +1476,7 @@ z_t&=&\gamma z_{t-1}+(1-\gamma) \frac{\partial J}{\partial {\theta}_t} \cdot \f
%----------------------------------------------------------------------------------------
\vspace{0.5em}
\noindent {\small\sffamily\bfseries{（4）Adam \index{Adam} }}
\noindent {\small\sffamily\bfseries{4）Adam \index{Adam} }}
\vspace{0.5em}
\parinterval Adam梯度下降算法是在RMSProp算法的基础上进行改进的，可以将其看成是带有动量项的RMSProp算法\upcite{kingma2014adam}。该算法在自然语言处理领域非常流行。Adam 算法的参数更新方式如公式\eqref{eq:9-40}\eqref{eq:9-41}\eqref{eq:9-42}所示：
......@@ -1637,16 +1637,16 @@ z_t&=&\gamma z_{t-1}+(1-\gamma) \frac{\partial J}{\partial {\theta}_t} \cdot \f
\item $ h_i^k $：第$ k $层第$ i $个神经元的输出；
\vspace{0.5em}
\item $ {\mathbi{h}}^k $：第$ k $层的输出。若第$ k $层有$ n $个神经元，则：
\begin{equation}
{\mathbi{h}}^k=(h_1^k,h_2^k,\dots,h_n^k)
\end{equation}
\begin{eqnarray}
{\mathbi{h}}^k&=&(h_1^k,h_2^k,\dots,h_n^k)
\end{eqnarray}
\vspace{0.5em}
\item $ w_{j,i}^k $：第$ k-1 $层神经元$ j $与第$ k $层神经元$ i $的连接权重；
\vspace{0.5em}
\item $ {\mathbi{W}}^k $：第$ k-1 $层与第$ k $层的连接权重。若第$ k-1 $层有$ m $个神经元，第$ k $层有$ n $个神经元，则：
\begin{equation}
{\mathbi{W}}^k = \begin{pmatrix} w_{1,1}^k & w_{1,2}^k & \dots & w_{1,n}^k\\w_{2,1}^k & \dots & \dots & \dots\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\w_{m,1}^k & \dots & \dots & w_{m,n}^k\end{pmatrix}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
{\mathbi{W}}^k &=& \begin{pmatrix} w_{1,1}^k & w_{1,2}^k & \dots & w_{1,n}^k\\w_{2,1}^k & \dots & \dots & \dots\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\w_{m,1}^k & \dots & \dots & w_{m,n}^k\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
\vspace{0.5em}
\item $ {\mathbi{h}}^K $：整个网络的输出；
\vspace{0.5em}
......@@ -1942,7 +1942,7 @@ z_t&=&\gamma z_{t-1}+(1-\gamma) \frac{\partial J}{\partial {\theta}_t} \cdot \f
\parinterval Softmax($\cdot$)的作用是根据输入的$|V|$维向量（即${\mathbi{h}}_0{\mathbi{U}}$），得到一个$|V|$维的分布。令${\bm \tau}$表示Softmax($\cdot$)的输入向量，Softmax函数可以被定义为公式\eqref{eq:9-120}：
\begin{eqnarray}
\textrm{Softmax}(\tau_i)=\frac{\textrm{exp}(\tau_i)} {\sum_{i'=1}^{|V|} \textrm{exp}(\tau_{i'})}
\textrm{Softmax}(\tau_i)&=&\frac{\textrm{exp}(\tau_i)} {\sum_{i'=1}^{|V|} \textrm{exp}(\tau_{i'})}
\label{eq:9-120}
\end{eqnarray}
......
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