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Chapter3/chapter3.tex

@@ -398,12 +398,12 @@ $计算这种切分的概率值。
 
 \parinterval 一种简单的办法是使用相对频次估计得到转移概率和发射概率估计值。令$x_i$表示第$i$个位置的可见状态，$y_i$表示第$i$个位置的隐含状态，$\funp{P}(y_i|y_{i-1})$表示第$i-1$个位置到第$i$个位置的状态转移概率，$\funp{P}(x_i|y_{i}) $表示第$i$个位置的发射概率，于是有：
 \begin{eqnarray}
-\funp{P}(y_i|y_{i-1}) = \frac{{c}(y_{i-1},y_i)}{{c}(y_{i-1})}
+\funp{P}(y_i|y_{i-1}) &=& \frac{{c}(y_{i-1},y_i)}{{c}(y_{i-1})}
 \label{eq:3.3-1}
 \end{eqnarray}
 
 \begin{eqnarray}
-\funp{P}(x_i|y_{i}) = \frac{{c}(x_i,y_i)}{{c}(y_i)}
+\funp{P}(x_i|y_{i}) &=& \frac{{c}(x_i,y_i)}{{c}(y_i)}
 \label{eq:3.3-2}
 \end{eqnarray}
 
@@ -411,20 +411,20 @@ $计算这种切分的概率值。
 
 \parinterval 在获得转移概率和发射概率的基础上，对于一个句子进行命名实体识别可以被描述为：在观测序列$\seq{x}$（可见状态，即输入的词序列）的条件下，最大化标签序列$\seq{y}$（隐含状态，即标记序列）的概率，即：
 \begin{eqnarray}
-\hat{\seq{y}} = \arg\max_{\seq{y}}\funp{P}(\seq{y}|\seq{x})
+\hat{\seq{y}} &=& \arg\max_{\seq{y}}\funp{P}(\seq{y}|\seq{x})
 \label{eq:3.3-3}
 \end{eqnarray}
 
 \parinterval 根据贝叶斯定理，该概率被分解为$\funp{P}(\seq{y}|\seq{x})=\frac{\funp{P}(\seq{x},\seq{y})}{\funp{P}(\seq{x})}$，其中$\funp{P}(\seq{x})$是固定概率，因为$\seq{x}$在这个过程中是确定的不变量。因此只需考虑如何求解分子，即将求条件概率$\funp{P}(\seq{y}|\seq{x})$的问题转化为求联合概率$\funp{P}(\seq{y},\seq{x})$的问题：
 \begin{eqnarray}
-\hat{\seq{y}} = \arg\max_{\seq{y}}\funp{P}(\seq{x},\seq{y}) \label{eq:markov-sequence-argmax}
+\hat{\seq{y}} &=& \arg\max_{\seq{y}}\funp{P}(\seq{x},\seq{y}) \label{eq:markov-sequence-argmax}
 \label{eq:3.3-4}
 \end{eqnarray}
 
 \parinterval 将式\eqref{eq:joint-prob-xy}带入式\eqref{eq:markov-sequence-argmax}可以得到最终计算公式，如下：
 
 \begin{eqnarray}
-\hat{\seq{y}} = \arg\max_{\seq{y}}\prod_{i=1}^{m}\funp{P}(x_i|y_i)\funp{P}(y_i|y_{i-1})
+\hat{\seq{y}} &=& \arg\max_{\seq{y}}\prod_{i=1}^{m}\funp{P}(x_i|y_i)\funp{P}(y_i|y_{i-1})
 \label{eq:3.3-5}
 \end{eqnarray}
 
@@ -483,7 +483,7 @@ F(y_{i-1},y_i,\seq{x},i) & = & t(y_{i-1},y_i,\seq{x},i)+s(y_i,\seq{x},i)
 \parinterval 公式\eqref{eq:3.3-9}中的$Z(x)$即为上面提到的实现全局统计归一化的归一化因子，其计算方式为：
 
 \begin{eqnarray}
-Z(\seq{x})=\sum_{\seq{y}}\exp(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^k\lambda_{j}F_{j}(y_{i-1},y_i,\seq{x},i))
+Z(\seq{x})&=&\sum_{\seq{y}}\exp(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^k\lambda_{j}F_{j}(y_{i-1},y_i,\seq{x},i))
 \label{eq:3.3-10}
 \end{eqnarray}
 
@@ -649,19 +649,19 @@ Z(\seq{x})=\sum_{\seq{y}}\exp(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^k\lambda_{j}F_{j}(y_{i-1},y
 
 \parinterval 举例说明，假设有上下文无关文法$G=<N,\varSigma,R,S>$，可以用它描述一个简单汉语句法结构。其中非终结符集合为不同的汉语句法标记
 \begin{eqnarray}
-N=\{\textrm{NN},\textrm{VV},\textrm{NP},\textrm{VP},\textrm{IP}\} \nonumber
+N&=&\{\textrm{NN},\textrm{VV},\textrm{NP},\textrm{VP},\textrm{IP}\} \nonumber
 \label{eq:3.4-1}
 \end{eqnarray}
 
 \noindent 这里，\textrm{NN}代表名词，\textrm{VV}代表动词，\textrm{NP}代表名词短语，\textrm{VP}代表动词短语，\textrm{IP}代表单句。进一步，把终结符集合定义为
 \begin{eqnarray}
-\varSigma = \{\text{猫,喜欢,吃,鱼}\} \nonumber
+\varSigma &=& \{\text{猫,喜欢,吃,鱼}\} \nonumber
 \label{eq:3.4-2}
 \end{eqnarray}
 
 再定义起始符集合为
 \begin{eqnarray}
-S=\{\textrm{IP}\} \nonumber
+S&=&\{\textrm{IP}\} \nonumber
 \label{eq:3.4-3}
 \end{eqnarray}
 
@@ -800,7 +800,7 @@ s_0 \overset{r_1}{\Rightarrow} s_1 \overset{r_2}{\Rightarrow} s_2 \overset{r_3}{
 
 \parinterval 概率上下文无关文法与传统上下文无关文法的区别在于，每条规则都会有一个概率，描述规则生成的可能性。具体来说，规则$\funp{P}(\alpha \to \beta)$的概率可以被定义为：
 \begin{eqnarray}
-\funp{P}(\alpha \to \beta)=\funp{P}(\beta | \alpha)
+\funp{P}(\alpha \to \beta)&=&\funp{P}(\beta | \alpha)
 \label{eq:3.4-4}
 \end{eqnarray}
 
@@ -831,7 +831,7 @@ r_6: & & \textrm{VP} \to \textrm{VV}\ \textrm{NN} \nonumber
 \parinterval 新的问题又来了，如何得到规则的概率呢？这里仍然可以从数据中学习文法规则的概率。假设有人工标注的数据，它包括很多人工标注句法树的句法，称之为{\small\sffamily\bfseries{树库}}\index{树库}（Treebank）\index{Treebank}。然后，对于规则$\textrm{r}:\alpha \to \beta$可以使用基于频次的方法：
 
 \begin{eqnarray}
-\funp{P}(r)  = \frac{\text{规则$r$在树库中出现的次数}}{\alpha \text{在树库中出现的次数}}
+\funp{P}(r)  &=& \frac{\text{规则$r$在树库中出现的次数}}{\alpha \text{在树库中出现的次数}}
 \label{eq:3.4-8}
 \end{eqnarray}