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Mengxia

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Chapter9/chapter9.tex

@@ -740,7 +740,7 @@ x_1\cdot w_1+x_2\cdot w_2+x_3\cdot w_3 & = & 0\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 1 \nonumbe
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 \vspace{-0.5em}
-\parinterval 那激活函数又是什么？神经元在接收到经过线性变换的结果后，通过激活函数的处理，得到最终的输出$ \mathbi y $。激活函数的目的是解决实际问题中的非线性变换，线性变换只能拟合直线，而激活函数的加入，使神经网络具有了拟合曲线的能力。 特别是在实际问题中，很多现象都无法用简单的线性关系描述，这时可以使用非线性激活函数来描述更加复杂的问题。常见的非线性激活函数有Sigmoid、ReLU、Tanh等。图\ref{fig:9-15}中列举了几种激活函数的形式。
+\parinterval 那激活函数又是什么？一个神经元在接收到经过线性变换的结果后，通过激活函数的处理，得到最终的输出$ y $。激活函数的目的是解决实际问题中的非线性变换，线性变换只能拟合直线，而激活函数的加入，使神经网络具有了拟合曲线的能力。 特别是在实际问题中，很多现象都无法用简单的线性关系描述，这时可以使用非线性激活函数来描述更加复杂的问题。常见的非线性激活函数有Sigmoid、ReLU、Tanh等。图\ref{fig:9-15}中列举了几种激活函数的形式。
 
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 \begin{figure}[htp]
@@ -1055,7 +1055,7 @@ f(x)=\begin{cases} 0 & x\le 0 \\x & x>0\end{cases}
 \rule{0pt}{15pt}     \texttt{Split(a,d,n)} & 对张量$ {\mathbi{a}} $沿d方向分裂成n份  \\
 \rule{0pt}{15pt}     \texttt{Sigmoid(a)} & 对张量${\mathbi{a}}$进行Sigmoid变换  \\
 \rule{0pt}{15pt}     \texttt{Softmax(a)} & 对张量$ {\mathbi{a}} $进行Softmax变换，沿最后一个方向  \\
-\rule{0pt}{15pt}     \texttt{HardTanh(a)} & 对张量$ {\mathbi{a}} $进行hard Tanh变换（双曲正切的近似）  \\
+\rule{0pt}{15pt}     \texttt{HardTanh(a)} & 对张量$ {\mathbi{a}} $进行HardTanh变换（双曲正切的近似）  \\
 \rule{0pt}{15pt}     \texttt{Rectify(a)} & 对张量$ {\mathbi{a}} $进行ReLU变换  \\
 \end{tabular}
 \end{table}
@@ -1179,7 +1179,7 @@ y&=&{\textrm{Sigmoid}}({\textrm{Tanh}}({\mathbi{x}}\cdot {\mathbi{W}}^{[1]}+{\ma
 \label{eq:9-28}
 \end{eqnarray}
 
-\noindent 其中，$ \widehat{\bm \theta} $表示在训练数据上使损失的平均值达到最小的参数，$n$为训练数据总量。$ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{L({\mathbi{x}}_i,\widetilde{\mathbi{y}}_i;{\bm \theta})} $也被称作{\small\sffamily\bfseries{代价函数}}\index{代价函数}（Cost Function）\index{Cost Function}，它是损失函数均值期望的估计，记为$ J({\bm \theta}) $。
+\noindent 其中，$ \widehat{\bm \theta} $表示在训练数据上使损失的平均值达到最小的参数，$n$为训练数据总量。$ \frac{1}{n}\sum \limits_{i=1}^{n}{L({\mathbi{x}}_i,\widetilde{\mathbi{y}}_i;{\bm \theta})} $也被称作{\small\sffamily\bfseries{代价函数}}\index{代价函数}（Cost Function）\index{Cost Function}，它是损失函数均值期望的估计，记为$ J({\bm \theta}) $。
 
 \parinterval 参数优化的核心问题是：找到使代价函数$ J({\bm\theta}) $达到最小的$ \bm \theta $。然而$ J({\bm\theta}) $可能会包含大量的参数，比如，基于神经网络的机器翻译模型的参数量可能会超过一亿个。这时不可能用手动方法进行调参。为了实现高效的参数优化，比较常用的手段是使用{\small\bfnew{梯度下降方法}}\index{梯度下降方法}（The Gradient Descent Method）\index{The Gradient Descent Method}。
 
@@ -1389,10 +1389,10 @@ $+2x^2+x+1)$ & \ \ $(x^4+2x^3+2x^2+x+1)$ & $+6x+1$ \\
 
 \subsubsection{3. 基于梯度的方法的变种和改进}\label{sec:9.4.2.3}
 
-\parinterval  参数优化通常基于梯度下降算法，即在每个更新步骤$ t $，沿梯度反方向更新参数：
+\parinterval  参数优化通常基于梯度下降算法，即在每个更新步骤$ t $，沿梯度反方向更新参数，如公式\eqref{eq:9-200}所示：
 \begin{eqnarray}
 {\bm \theta}_{t+1}&=&{\bm \theta}_{t}-\alpha \cdot \frac{\partial J({\bm \theta}_t)}{\partial {\bm \theta}_t}
-\label{}
+\label{eq:9-200}
 \end{eqnarray}
 
 \noindent 其中，$ \alpha $是一个超参数，表示更新步幅的大小，称作学习率。当然，这是一种最基本的梯度下降方法。如果函数的形状非均向，比如呈延伸状，搜索最优点的路径就会非常低效，因为这时梯度的方向并没有指向最小值的方向，并且随着参数的更新，梯度方向往往呈锯齿状，这将是一条相当低效的路径；此外这种梯度下降算法并不是总能到达最优点，而是在其附近徘徊；还有一个最令人苦恼的问题\ \dash \ 设置学习率，如果学习率设置的比较小，会导致训练收敛速度慢，如果学习率设置的比较大，会导致训练过程中因为优化幅度过大而频频跳过最优点。我们希望网络在优化的时候损失函数有一个很好的收敛速度同时又不至于摆动幅度太大。
@@ -1547,7 +1547,7 @@ z_t&=&\gamma z_{t-1}+(1-\gamma) \frac{\partial J}{\partial {\theta}_t} \cdot  \f
 
 \parinterval  网络训练过程中，如果参数的初始值过大，而且每层网络的梯度都大于1，反向传播过程中，各层梯度的偏导数都会比较大，会导致梯度指数级地增长直至超出浮点数表示的范围，这就产生了梯度爆炸现象。如果发生这种情况，模型中离输入近的部分比离输入远的部分参数更新得更快，使网络变得非常不稳定。在极端情况下，模型的参数值变得非常大，甚至于溢出。针对梯度爆炸的问题，常用的解决办法为{\small\sffamily\bfseries{梯度裁剪}}\index{梯度裁剪}（Gradient Clipping）\index{Gradient Clipping}。
 
-\parinterval    梯度裁剪的思想是设置一个梯度剪切阈值。在更新梯度的时候，如果梯度超过这个阈值，就将其强制限制在这个范围之内。假设梯度为${\mathbi{g}}$，梯度剪切阈值为$\sigma $，梯度裁剪的公式为：
+\parinterval    梯度裁剪的思想是设置一个梯度剪切阈值。在更新梯度的时候，如果梯度超过这个阈值，就将其强制限制在这个范围之内。假设梯度为${\mathbi{g}}$，梯度剪切阈值为$\sigma $，梯度裁剪过程如公式\eqref{eq:9-43}所示：
 \begin{eqnarray}
 {\mathbi{g}}&=&{\textrm{min}}(\frac{\sigma}{\Vert {\mathbi{g}}\Vert},1){\mathbi{g}}
 \label{eq:9-43}
@@ -1607,7 +1607,7 @@ z_t&=&\gamma z_{t-1}+(1-\gamma) \frac{\partial J}{\partial {\theta}_t} \cdot  \f
 
 \parinterval  {\small\sffamily\bfseries{正则化}}\index{正则化}（Regularization）\index{Regularization}是常见的缓解过拟合问题的手段，通过在损失函数中加上用来刻画模型复杂程度的正则项来惩罚过度复杂的模型，从而避免神经网络过度学习造成过拟合。引入正则化处理之后目标函数变为$ J({\bm \theta})+\lambda R({\bm \theta}) $，其中$ J({\bm \theta}) $是原来的代价函数，$ R({\bm \theta}) $即为正则项，$ \lambda $用来调节正则项对结果影响的程度。
 
-\parinterval  过拟合的模型通常会表现为部分非零参数过多或者参数的值过大。这种参数产生的原因在于模型需要复杂的参数才能匹配样本中的个别现象甚至噪声。基于此，常见的正则化方法有L1正则化和L2正则化，其命名方式是由$ R({\bm \theta}) $的计算形式来决定的。在L1正则化中，$ R({\bm \theta}) $即为参数$ {\bm \theta} $的$ l_1 $范数，即$ R({\bm \theta}) ={\Vert {\bm \theta}\Vert}_1=\sum_{i=1}^{n}{\vert \theta_i\vert} $；在L2正则化中，$ R(\bm \theta) $即为参数${\bm \theta} $的$ l_2 $范数的平方，即$ R(\bm \theta) =({\Vert {\bm \theta}\Vert}_2)^2=\sum_{i=1}^{n}{\theta_i^2} $。L1正则化中的正则项衡量了模型权数中的绝对值大小，倾向于生成值为0的参数，从而让参数变得更加稀疏；而L2正则化由于平方的加入，当参数中的某一项小到一定程度，比如0.001的时候，参数的平方结果已经可以忽略不计了，因此L2正则化会倾向生成很小的参数，在这种情况下，即便训练数据中含有少量随机噪音，模型也不太容易通过增加个别参数的值来对噪声进行过度拟合，即提高了模型的抗扰动能力。
+\parinterval  过拟合的模型通常会表现为部分非零参数过多或者参数的值过大。这种参数产生的原因在于模型需要复杂的参数才能匹配样本中的个别现象甚至噪声。基于此，常见的正则化方法有L1正则化和L2正则化，其命名方式是由$ R({\bm \theta}) $的计算形式来决定的。在L1正则化中，$ R({\bm \theta}) $即为参数$ {\bm \theta} $的$ l_1 $范数，即$ R({\bm \theta}) ={\Vert {\bm \theta}\Vert}_1=\sum\limits_{i=1}^{n}{\vert \theta_i\vert} $；在L2正则化中，$ R(\bm \theta) $即为参数${\bm \theta} $的$ l_2 $范数的平方，即$ R(\bm \theta) =({\Vert {\bm \theta}\Vert}_2)^2=\sum\limits_{i=1}^{n}{\theta_i^2} $。L1正则化中的正则项衡量了模型权数中的绝对值大小，倾向于生成值为0的参数，从而让参数变得更加稀疏；而L2正则化由于平方的加入，当参数中的某一项小到一定程度，比如0.001的时候，参数的平方结果已经可以忽略不计了，因此L2正则化会倾向生成很小的参数，在这种情况下，即便训练数据中含有少量随机噪音，模型也不太容易通过增加个别参数的值来对噪声进行过度拟合，即提高了模型的抗扰动能力。
 
 \parinterval  此外，在{\chaptertwelve}即将介绍的Dropout和标签平滑方法也可以被看作是一种正则化操作。它们都可以提高模型在未见数据上的泛化能力。