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@@ -300,19 +300,19 @@ c(s_u|t_v,\seq{s},\seq{t}) &\approx & \sum_{\seq{a} \in S}\big[\funp{P}_{\theta}
 
 \parinterval 可以以同样的方式修改公式\eqref{eq:1.3}-\eqref{eq:1.6}的修改结果。进一步，在IBM模型3中，可以定义$S$如下：
 \begin{eqnarray}
-S &=& N(b^{\infty}(V(\seq{s}|\seq{t};2))) \cup (\mathop{\cup}\limits_{ij} N(b_{i \leftrightarrow j}^{\infty}(V_{i \leftrightarrow j}(\seq{s}|\seq{t},2))))
+S &=& N(b^{\infty}(V(\seq{s}|\seq{t};2))) \cup (\mathop{\cup}\limits_{ij} N(b_{i \leftrightarrow j}^{\infty}(V_{i \leftrightarrow j}(\seq{s}|\seq{t};2))))
 \label{eq:1.12}
 \end{eqnarray}
 
 \parinterval 为了理解这个公式，先介绍几个概念。
 \begin{itemize}
-\item $V(\seq{s}|\seq{t})$表示Viterbi词对齐，$V(\seq{s}|\seq{t},1)$、$V(\seq{s}|\seq{t},2)$和$V(\seq{s}|\seq{t},3)$就分别对应了模型1、2 和3 的Viterbi 词对齐；
-\item 把那些满足第$j$个源语言单词对应第$i$个目标语言单词（$a_j=i$）的词对齐构成的集合记为$\seq{a}_{i \leftrightarrow j}(\seq{s},\seq{t})$。通常称这些对齐中$j$和$i$被``钉''在了一起。在$\seq{a}_{i \leftrightarrow j}(\seq{s},\seq{t})$中使$\funp{P}(\seq{a}|\seq{s},\seq{t})$达到最大的那个词对齐被记为$V_{i \leftrightarrow j}(\seq{s}|\seq{t})$；
+\item $V(\seq{s}|\seq{t})$表示Viterbi词对齐，$V(\seq{s}|\seq{t};1)$、$V(\seq{s}|\seq{t};2)$和$V(\seq{s}|\seq{t};3)$就分别对应了模型1、2 和3 的Viterbi 词对齐；
+\item 把那些满足第$j$个源语言单词对应第$i$个目标语言单词（$a_j=i$）的词对齐构成的集合记为$\seq{a}_{i \leftrightarrow j}(\seq{s},\seq{t})$。通常称这些对齐中$j$和$i$被``钉''在了一起。在$\seq{a}_{i \leftrightarrow j}(\seq{s},\seq{t})$中使$\funp{P}(\seq{s},\seq{a}| \seq{t})$达到最大的那个词对齐被记为$V_{i \leftrightarrow j}(\seq{s}|\seq{t})$；
 \item 如果两个词对齐，通过交换两个词对齐连接就能互相转化，则称它们为邻居。一个词对齐$\seq{a}$的所有邻居记为$N(\seq{a})$。
 \end{itemize}
 
 \vspace{0.5em}
-\parinterval 公式\eqref{eq:1.12}中，$b^{\infty}(V(\seq{s}|\seq{t};2))$ 和 $b_{i \leftrightarrow j}^{\infty}(V_{i \leftrightarrow j}(\seq{s}|\seq{t},2))$ 分别是对 $V(\seq{s}|\seq{t};3)$ 和 $V_{i \leftrightarrow j}(\seq{s}|\seq{t},3)$ 的估计。在计算$S$的过程中，需要知道一个对齐$\seq{a}$的邻居$\seq{a}'$的概率，即通过$\funp{P}_{\theta}(\seq{a},\seq{s}|\seq{t})$计算$\funp{P}_{\theta}(\seq{a}',\seq{s}|\seq{t})$。在模型3中，如果$\seq{a}$和$\seq{a}'$仅区别于某个源语言单词$s_j$对齐从$a_j$变到$a_{j}'$，且$a_j$和$a'_j$均不为零，令$a_j=i$，$a'_{j}=i'$，那么
+\parinterval 公式\eqref{eq:1.12}中，$b^{\infty}(V(\seq{s}|\seq{t};2))$ 和 $b_{i \leftrightarrow j}^{\infty}(V_{i \leftrightarrow j}(\seq{s}|\seq{t};2))$ 分别是对 $V(\seq{s}|\seq{t};3)$ 和 $V_{i \leftrightarrow j}(\seq{s}|\seq{t};3)$ 的估计。在计算$S$的过程中，需要知道一个对齐$\seq{a}$的邻居$\seq{a}'$的概率，即通过$\funp{P}_{\theta}(\seq{a},\seq{s}|\seq{t})$计算$\funp{P}_{\theta}(\seq{a}',\seq{s}|\seq{t})$。在模型3中，如果$\seq{a}$和$\seq{a}'$仅区别于某个源语言单词$s_j$对齐从$a_j$变到$a_{j}'$，且$a_j$和$a'_j$均不为零，令$a_j=i$，$a'_{j}=i'$，那么
 
 \begin{eqnarray}
 \funp{P}_{\theta}(\seq{a}',\seq{s}|\seq{t}) & = & \funp{P}_{\theta}(\seq{a},\seq{s}|\seq{t}) \cdot  \nonumber \\
@@ -381,7 +381,7 @@ z_{>1}(\Delta_j|cb;\seq{a},\seq{s},\seq{t}) & = & \sum_{i=1}^l \big[\varepsilon(
 \parinterval 模型4 需要像模型3 一样，通过定义一个词对齐集合$S$，使得每次训练迭代都在$S$ 上进行，进而降低运算量。模型4 中$S$的定义为：
 
 \begin{eqnarray}
-S &=& N(\tilde{b}^{\infty}(V(\seq{s}|\seq{t};2))) \cup (\mathop{\cup}\limits_{ij} N(\tilde{b}_{i \leftrightarrow j}^{\infty}(V_{i \leftrightarrow j}(\seq{s}|\seq{t},2))))
+S &=& N(\tilde{b}^{\infty}(V(\seq{s}|\seq{t};2))) \cup (\mathop{\cup}\limits_{ij} N(\tilde{b}_{i \leftrightarrow j}^{\infty}(V_{i \leftrightarrow j}(\seq{s}|\seq{t};2))))
 \label{eq:1.22}
 \end{eqnarray}
 
@@ -435,7 +435,7 @@ z_{>1}(\Delta_j|cb,v;\seq{a},\seq{s},\seq{t}) & = & \sum_{i=1}^l\Big[\varepsilon
 
 \parinterval 在模型5中同样需要定义一个词对齐集合$S$，使得每次迭代都在$S$上进行。可以对$S$进行如下定义
 \begin{eqnarray}
-S &=& N(\tilde{\tilde{b}}^{\infty}(V(\seq{s}|\seq{t};2))) \cup (\mathop{\cup}\limits_{ij} N(\tilde{\tilde{b}}_{i \leftrightarrow j}^{\infty}(V_{i \leftrightarrow j}(\seq{s}|\seq{t},2))))
+S &=& N(\tilde{\tilde{b}}^{\infty}(V(\seq{s}|\seq{t};2))) \cup (\mathop{\cup}\limits_{ij} N(\tilde{\tilde{b}}_{i \leftrightarrow j}^{\infty}(V_{i \leftrightarrow j}(\seq{s}|\seq{t};2))))
 \label{eq:1.29}
 \end{eqnarray}
 \vspace{0.5em}