Von Mises-Fisher Loss for Training Sequence to Sequence Models with Continuous Outputs

Continuous Output for NMT/continuous-output-for-nmt.md

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   * 语义相似度并不能完全替代质量评估，但至少就最小风险训练而言，它是个不错的指标。
   
-* Von Mises**-Fisher** Loss for Training Sequence to Sequence Models with Continuous Outputs，ICLR 2019
+* Von Mises-Fisher Loss for Training Sequence to Sequence Models with Continuous Outputs，ICLR 2019
 
   * softmax的缺点：
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     * 速度慢、需要较大的内存、词汇表大小固定，不利于推理OOV的词
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   * 因此此论文使用连续词嵌入层替换Softmax层
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   * 创新点：
     * 新的损失函数
     * 使用预先训练的词嵌入概率分布进行训练和推断的过程
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+  * 训练：
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+    * 最小化模型输出的向量和参考译文词向量（来自预训练模型）的距离
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+  * 推断
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+    * 在目标词嵌入空间中搜索和当前输出词嵌入向量最近的向量，那么该词即是当前时刻预测的词
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+      $w_{predict}=argmin_w\{d(\hat{e},e(w))|w \in V\}$
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+      其中$e(w)$是目标语言词嵌入向量，$\hat{e}$是模型输出向量，$V$是词汇表。
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+    * 在NLLvMF中，选取和$\hat{e}$的vMF相似度最高的词做为输出词
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+    * 这种推断方式只能选取一个词，相当于**greedy search**
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+  * LOSS计算
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+    * cosine
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+      * $Loss=1-\frac{\hat{e}e(w)}{||\hat{e}||\cdot ||e(w)||}$
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+    * Max Margin Loss
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+      * $Loss=\sum_{w'\in V,w'\neq w}max(0,\gamma +cos(\hat{e},e(w'))-cos(\hat{e},e(w)))$
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+      ​       其中$\gamma$是超参数，$w'$表示负的样本。
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+    * NLLvMF
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+      * $NLLvMF(\hat{e};e(w))=-log(C_m(||\hat{e}||))-\hat{e}^T e(w)$
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+      ​      其中$C_m(\cdot)$是正则项：$C_m(k)=\frac{k^{m/2-1}}{(2\pi)^{m/2}I_{m/2-1}(k)}$
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+    * Regularization of NLLvMF
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+      * $NLLvMF(\hat{e})_{reg1}=-logC_m(||\hat{e}||)-\hat{e}^Te(w)+\lambda_1||\hat{e}||$
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+      * $NLLvMF(\hat{e})_{reg2}=-logC_m(||\hat{e}||)-\lambda_2\hat{e}^Te(w)$
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+        其中$\lambda_1$和$\lambda_2$是scalar参数，且$\lambda_2<1$
 
 * A Margin-based Loss with Synthetic Negative Samples for Continuous-output Machine Translation，EMNLP 2019